前回はワイエルシュトラスの近似定理を証明しました。今回はこの定理を使って球面調和関数空間の直和空間を調べていきます。まずは任意の同次多項式の球面への制限が直和空間に入っていることを確かめましょう。この証明には帰納法を使います。定数値関数と 1 次同次多項式は調和関数なので

\begin{align} P^0\big|S^2\subseteq H^0,P^1\big|S^2\subseteq H^1 \end{align}

が成立するのは良いでしょう。これが帰納法の初項になります。或る $k\ge 2$ に対して

\begin{align} P^{k-2}\big|S^2\subseteq H^{k-2}+H^{k-4}+\cdots \end{align}

が成立すると仮定します。任意の $k$ 次の同次多項式の球面への制限から $k-2,k-4,\ldots$ 次の球面調和関数成分を分離します。

\begin{align} p_k=h+\sum f_{k-2}+f_{k-4}+\cdots,\ f_i=\langle p_k,H^i\rangle_2 \end{align}

ここに $h$ は剰余項です。これが $k$ 次の球面調和関数であることが言えれば良いわけですね。各球面調和関数成分は $\|x\|^2$ を適当な回数掛けることにより $k-2$ 次の同次多項式の球面への制限と考えることができます。

\begin{align} p_k=p_{k-2}+h,\ p_{k-2}\in P^{k-2}\big|S^2 \end{align}

ここで

\begin{align} P_k\in P^k,P_{k-2}\in P^{k-2}\ \text{such that }P_k\big| S^2=p_k,P_{k-2}\big| S^2=p_{k-2} \end{align}

のように拡張して

\begin{align} H=P_k-\|x\|^2P_{k-2} \end{align}

とおくと、$H$ は $k$ 次同次多項式で球面への制限は $h$ になります。あとは $H$ が調和関数であることを示せば $h$ は $k$ 次の球面調和関数になります。任意の $k-2$ 次同次多項式 $Q$ とその球面への制限 $q$ に対して

\begin{align} \langle \Delta H,q\rangle_2=\langle \Delta^Sh-\lambda_kh,q\rangle_2 \end{align}

$h$ には $k-2,k-4,\ldots$ 次の球面調和関数成分が含まれていないため、仮定より任意の $k-2$ 次同次多項式の球面への制限との内積は零となります。

\begin{align} \langle \Delta^Sh-\lambda_kh,q\rangle_2=\langle \Delta^S h,q\rangle_2 \end{align}

更に球面調和関数空間の直交性を証明したときに使った式(ストークスの公式で証明した式)を使うと

\begin{align} \langle \Delta^S h,q\rangle_2=\langle h,\Delta^Sq\rangle_2=\langle h,\|x\|^2\Delta Q\rangle_2 \end{align}

右辺は $h$ と $k-2$ 次同次多項式の球面への制限の内積であるから零であり、したがって

\begin{align} \langle \Delta H,q\rangle_2=0 \end{align}

が成立します。$Q$ は任意だったので、例えば $q=\Delta H$ となるようにとると $\Delta H=0$ すなわち $H$ は調和関数になります。これで帰納法の証明は終了です。同次多項式の球面への制限が球面調和関数空間の直和空間に入っていることが分りました。

任意の多項式は球面調和関数空間の直和空間に入り、ワイエルシュトラスの近似定理より連続な関数も球面調和関数空間の直和空間に入ります。球面調和関数空間の直和空間の元は、当然連続なので、結局球面調和関数空間の直和空間と球面上の連続関数全体は一致します。

連続関数ならば球面調和関数の級数に一意的に直交分解できます。球面調和関数の基底は連続な関数空間の正規直交系なわけですね。非常に便利になりましたね。この分解のことをフーリエ級数と呼びます。

今回はここまで。道具が揃ってきたので、次回は球面ラプラシアンの固有方程式の話をします。(written by J.Nishigata)

フーリエ18- 球面調和関数空間の直和空間について