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  }
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前回は球面調和関数が球面ラプラシアンの固有関数であることを調べました。この性質は球面調和関数の便利さの理由のひとつなのですが、もう一つ便利な性質として直交性を調べてみたいと思います。


まず考えなければならないことは、「直交とは何か」ということです。数ベクトルを思い出してください。直交とは零ではない 2 つのベクトルの内積が零であることを意味します。今の場合では、まず球面上の関数に対する内積を定義する必要がありそうです。

\begin{align}
\langle f_1,f_2\rangle_2=\int_{S^2}f_1f_2\,dS
\end{align}

数ベクトルの内積の総和計算を積分に置き換えたと考えればしっくりくるでしょう。このような内積を $L_2$ 計量と呼びます。これを用いると、直交とは恒等的に零ではない球面上の関数 $f_1,f_2$ に対して

\begin{align}
\langle f_1,f_2\rangle_2=0
\end{align}

が成立することだと言えます。ここに球面調和関数を代入したらどうなるでしょうか。少しテクニカルなのですが $(f\Delta g-g\Delta f)\,dV$ が完全形式であることを使います。連結領域 $\Omega$ で $f\Delta g-g\Delta f$ を積分すると、ストークスの公式を用いて

\begin{align}
\int_{\Omega}(f\Delta g-g\Delta f)\,dV=\int_{\partial\Omega}(f\partial_ng-g\partial_nf)\,dS
\end{align}

が得られます。ここで $n$ は $\partial\Omega$ の外向き単位法線ベクトル場です。球面調和関数を

\begin{align}
f(x)=\tilde{f}(x/\|x\|),\ g(x)=\tilde{g}(x/\|x\|),\ \tilde{f}\in H^j,\tilde{g}\in H^k
\end{align}

のように零を除く空間全体に拡張して代入すると右辺は消えて

\begin{align}
\int_{\Omega}(f\Delta g-g\Delta f)\,dV=0
\end{align}

となります。あとは球面調和関数の性質を使って左辺を計算していけば良いです。まずラプラシアンの球面極座標への変換式を用いて

\begin{align}
f\Delta g-g\Delta f=\dfrac{f\Delta^Sg-g\Delta^Sf}{\|x\|^2}
\end{align}

$f,g$ のそれぞれの固有値を $\lambda_j,\lambda_k$ とおいて、球面ラプラシアンの固有方程式より

\begin{align}
\dfrac{f\Delta^Sg-g\Delta^Sf}{\|x\|^2}=\dfrac{\lambda_k-\lambda_j}{\|x\|^2}fg
\end{align}

と変形します。これを特異点 $x=0$ が除かれた例えば $\Omega=B(2)-B(1)$ ($B(a)$ は半径 $a$ の球体)の場合に代入すると

\begin{align}
\int_{\Omega}(f\Delta g-g\Delta f)\,dV=(\lambda_k-\lambda_j)\langle\tilde{f},\tilde{g}\rangle_2
\end{align}

となります。固有値は $\lambda_j=-j(j+1)$ だったので、$j\neq k$ ならば $\lambda_j\neq\lambda_k$ も成り立ちます。以上より

\begin{align}
j\neq k\Longrightarrow\langle\tilde{f},\tilde{g}\rangle_2=0
\end{align}

直交性が証明できましたね。直交性の証明ついでに、各調和関数空間に正規直交基底をとっておきましょう。

\begin{align}
Y_{jk},Y_{jl}\in H^j,\ \langle Y_{jk},Y_{jl}\rangle_2=\delta_{kl}
\end{align}

球面調和関数空間の直交性と合わせると

\begin{align}
\langle Y_{ij},Y_{kl}\rangle_2=\delta_{ik}\delta_{jl}
\end{align}

というきれいな式になります。直交性の便利なところは直交分解ができるところです。球面調和関数の和で書ける関数はすべて一意的に直交分解できます。

\begin{align}
f=\sum_{j,k}\langle Y_{jk},f\rangle_2Y_{jk}
\end{align}

今回はこの辺まで。次回は調和関数空間の直和空間の大きさを調べていきます。便利なものは広い範囲で使いたいですね。(written by J.Nishigata)


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フーリエ16- 球面調和関数空間の直交性

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前回はワイエルシュトラスの近似定理を証明しました。今回はこの定理を使って球面調和関数空間の直和空間を調べていきます。まずは任意の同次多項式の球面への制限が直和空間に入っていることを確かめましょう。この証明には帰納法を使います。定数値関数と 1 次同次多項式は調和関数なので

\begin{align}
P^0\big|S^2\subseteq H^0,P^1\big|S^2\subseteq H^1
\end{align}

が成立するのは良いでしょう。これが帰納法の初項になります。或る $k\ge 2$ に対して

\begin{align}
P^{k-2}\big|S^2\subseteq H^{k-2}+H^{k-4}+\cdots
\end{align}

が成立すると仮定します。任意の $k$ 次の同次多項式の球面への制限から $k-2,k-4,\ldots$ 次の球面調和関数成分を分離します。

\begin{align}
p_k=h+\sum f_{k-2}+f_{k-4}+\cdots,\ f_i=\langle p_k,H^i\rangle_2
\end{align}

ここに $h$ は剰余項です。これが $k$ 次の球面調和関数であることが言えれば良いわけですね。各球面調和関数成分は $\|x\|^2$ を適当な回数掛けることにより $k-2$ 次の同次多項式の球面への制限と考えることができます。

\begin{align}
p_k=p_{k-2}+h,\ p_{k-2}\in P^{k-2}\big|S^2
\end{align}

ここで

\begin{align}
P_k\in P^k,P_{k-2}\in P^{k-2}\ \text{such that }P_k\big| S^2=p_k,P_{k-2}\big| S^2=p_{k-2}
\end{align}

のように拡張して

\begin{align}
H=P_k-\|x\|^2P_{k-2}
\end{align}

とおくと、$H$ は $k$ 次同次多項式で球面への制限は $h$ になります。あとは $H$ が調和関数であることを示せば $h$ は $k$ 次の球面調和関数になります。任意の $k-2$ 次同次多項式 $Q$ とその球面への制限 $q$ に対して

\begin{align}
\langle \Delta H,q\rangle_2=\langle \Delta^Sh-\lambda_kh,q\rangle_2
\end{align}

$h$ には $k-2,k-4,\ldots$ 次の球面調和関数成分が含まれていないため、仮定より任意の $k-2$ 次同次多項式の球面への制限との内積は零となります。

\begin{align}
\langle \Delta^Sh-\lambda_kh,q\rangle_2=\langle \Delta^S h,q\rangle_2
\end{align}

更に球面調和関数空間の直交性を証明したときに使った式(ストークスの公式で証明した式)を使うと

\begin{align}
\langle \Delta^S h,q\rangle_2=\langle h,\Delta^Sq\rangle_2=\langle h,\|x\|^2\Delta Q\rangle_2
\end{align}

右辺は $h$ と $k-2$ 次同次多項式の球面への制限の内積であるから零であり、したがって

\begin{align}
\langle \Delta H,q\rangle_2=0
\end{align}

が成立します。$Q$ は任意だったので、例えば $q=\Delta H$ となるようにとると $\Delta H=0$ すなわち $H$ は調和関数になります。これで帰納法の証明は終了です。同次多項式の球面への制限が球面調和関数空間の直和空間に入っていることが分りました。


任意の多項式は球面調和関数空間の直和空間に入り、ワイエルシュトラスの近似定理より連続な関数も球面調和関数空間の直和空間に入ります。球面調和関数空間の直和空間の元は、当然連続なので、結局球面調和関数空間の直和空間と球面上の連続関数全体は一致します。


連続関数ならば球面調和関数の級数に一意的に直交分解できます。球面調和関数の基底は連続な関数空間の正規直交系なわけですね。非常に便利になりましたね。この分解のことをフーリエ級数と呼びます。


今回はここまで。道具が揃ってきたので、次回は球面ラプラシアンの固有方程式の話をします。(written by J.Nishigata)


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フーリエ17- 多項式で表現できる関数全体の大きさ