円周のときを思い返せば固有振動子の方程式を解くだけで非常に簡単だったのですが、球面になると急に難しくなるものですね。何か糸口を見つけなければならないのですが、やはり既に解けている円周の問題を参考にすべきでしょう。

\begin{align} 1,\sin\theta,\cos\theta,\sin 2\theta,\cos 2\theta,\sin 3\theta,\cos 3\theta,\ldots \end{align}

何か思い付きませんか。

\begin{align} 1,e^{i\theta},e^{2i\theta},e^{3i\theta},\ldots \end{align}

これではどうでしょう。

\begin{align} (e^{i\theta})^0,(e^{i\theta})^1,(e^{i\theta})^2,(e^{i\theta})^3,\ldots \end{align}

ここまでやれば分りますか。多項式です。多項式をベースにして解を考えていきましょう。まず、$k$ 次の同次多項式全体を $P^k$ とおきましょう。この部分空間でラプラシアンのカーネル全体を $Q^k$ とします。$Q^k$ の元の定義域を球面へ制限したものを $H^k$ とおきます。

少し分りにくいかもしれませんが、$H^k$ の元はラプラス方程式の解($Q^k$ の元)の球面成分、すなわち球面ラプラシアンの固有関数になっています。固有値は動径成分を見ればわかります。

$Q^k$ のことを $k$ 次の調和関数空間、その元を $k$ 次の調和関数、$H^k$ のことを $k$ 次の球面調和関数空間、その元を $k$ 次の球面調和関数と呼びます。

$k$ 次の調和関数 $F$ に対応する球面調和関数を $f$ とおくと、$F$ は $k$ 次の同次多項式でもあるので

\begin{align} F(rx)=r^kf(x),\ x=(x^1,x^2,x^3)\in S^2 \end{align}

すなわち動径成分は $r^k$ になります。これをラプラス方程式の動径成分

\begin{align} r^2\partial^2A+2r\partial A-\alpha A=0 \end{align}

に代入して $\alpha =k(k+1)$ を得ます。$k$ 次の球面調和関数の固有値が $-k(k+1)$ であることが分りました。今回はこの辺まで。

多くの記号や定義が出てきて、尚且つ球面という少し高度なもので追いつけないかもしれませんが、そういう場合は円周の場合に都度置き換えると良いでしょう。

$H^k$ というのは円周では $\{\sin(k\theta),\cos(k\theta)\}$ のことですね。

また、今回からベクトルの表記が変わりました。今までの $(x,y,z)$ のような表記では、式が重く且つ文字の浪費が激しいため $x=(x^1,x^2,x^3)$ のように書くことにしています。上付きの添え字は「冪乗」の意味ではなく「要素のインデックス」なのでご注意ください。

次回は、フーリエ係数の計算時に使った直交性の球面調和関数バージョンをやります。(written by J.Nishigata)

フーリエ15- 球面ラプラシアンの固有値と固有空間を調べる