いよいよ 3 次元モデルへの挑戦です。1 次元 2 次元の話を前回までやってきましたが、どうだったでしょうか。

\begin{align} \Delta u=\partial_tu \end{align}

もうやり方は慣れてきたでしょう。変数分離型 $u=A(x,y,z)B(t)$ の特殊解を代入して整理すると

\begin{align} \Delta A=-kA,\ \partial B=-kB \end{align}

ラプラス方程式とヘルムホルツ方程式を解きましょう、という部分までは 2 次元の場合と同じです。早速、ラプラス方程式に挑みたいところですが、少し先を見据えて準備をしておこうと思います。ラプラシアンの極座標変換のところですね。

今回の極座標は、球面極座標と呼ばれるものです。

\begin{align} (x,y,z)=r(\cos\theta\sin\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\varphi) \end{align}

接ベクトル計算すると

\begin{align} \begin{pmatrix} \partial_r\\ \partial_{\theta}/(r\sin\varphi)\\ \partial_{\varphi}/r \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos\theta\sin\varphi&\sin\theta\sin\varphi&\cos\varphi\\ -\sin\theta&\cos\theta&0\\ \cos\theta\cos\varphi&\sin\theta\cos\varphi&-\sin\varphi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \partial_x\\ \partial_y\\ \partial_z \end{pmatrix} \end{align}

となりますが、右辺の行列は正規直交行列ですので転置行列が逆行列であり

\begin{align} \begin{pmatrix} \partial_x\\ \partial_y\\ \partial_z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos\theta\sin\varphi&-\sin\theta&\cos\theta\cos\varphi\\ \sin\theta\sin\varphi&\cos\theta&\sin\theta\cos\varphi\\ \cos\varphi&0&-\sin\varphi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \partial_r\\ \partial_{\theta}/(r\sin\varphi)\\ \partial_{\varphi}/r \end{pmatrix} \end{align}

のように簡単に変換式が求まります。ここから先の計算は、以前のように 2 階微分を計算してからラプラシアンを求めても良いのですが、もう少し簡単に計算することにしましょう。鬼のような計算をやった記憶がある方も多いかもしれませんが、工夫をすれば案外簡単です。

\begin{align} \nabla=a\partial_r+\dfrac{b}{r\sin\varphi}\partial_{\theta}+\dfrac{c}{r}\partial_{\varphi} \end{align}

とおいて

\begin{align} \langle\nabla,\nabla\rangle&=\bigg\langle a\partial_r,a\partial_r+\dfrac{b}{r\sin\varphi}\partial_{\theta}+\dfrac{c}{r}\partial_{\varphi}\bigg\rangle\\ &\quad+\bigg\langle \dfrac{b}{r\sin\varphi}\partial_{\theta},a\partial_r+\dfrac{b}{r\sin\varphi}\partial_{\theta}+\dfrac{c}{r}\partial_{\varphi}\bigg\rangle\\ &\quad+\bigg\langle \dfrac{c}{r}\partial_{\varphi},a\partial_r+\dfrac{b}{r\sin\varphi}\partial_{\theta}+\dfrac{c}{r}\partial_{\varphi}\bigg\rangle \end{align}

のようにベクトルで計算すると簡単です。展開しながら $a,b,c$ が正規直交であることに注意して

\begin{align} \partial_r^2+\dfrac{\langle b,\partial_{\theta}a\rangle}{r\sin\varphi}\partial_r+\dfrac{1}{r^2\sin^2\varphi}\partial_{\theta}^2+\dfrac{\langle b,\partial_{\theta}c\rangle}{r^2\sin^2\varphi}\partial_{\varphi}+\dfrac{\langle c,\partial_{\varphi}a\rangle}{r}\partial_r+\dfrac{1}{r^2}\partial_{\varphi}^2 \end{align}

ベクトルの微分の項を計算して

\begin{align} &\langle b,\partial_{\theta}a\rangle=\sin\varphi,\\ &\langle b,\partial_{\theta}c\rangle=\cos\varphi,\\ &\langle c,\partial_{\varphi}a\rangle=1 \end{align}

代入すればラプラシアンが得られます。

\begin{align} \Delta=\partial_r^2+\dfrac{2}{r}\partial_r+\dfrac{1}{r^2}\bigg(\dfrac{\partial_{\theta}^2}{\sin^2\varphi}+\partial_{\varphi}^2+\dfrac{\cos\varphi\partial_{\varphi}}{\sin\varphi}\bigg) \end{align}

ラプラシアンの球面成分は、球面ラプラシアンと呼ばれます。以上の準備で動径方向と球面方向の分離解 $A=C(r)D(\theta,\varphi)$ を代入することができます。

\begin{align} &r^2\partial^2C+2r\partial C+(kr^2-\alpha)C=0,\\ &\Delta^SD=-\alpha D \end{align}

どちらの方程式も 2 次元のときとは少し違いますね。今回はここまで。次回は、後者の方程式(球面ラプラシアンの固有方程式)の固有値にあたりをつけるところからやりましょう。(written by J.Nishigata)

フーリエ14- 熱伝導方程式(3 次元モデル)に挑戦