関数 $f$ のスペクトルは

\begin{align} F(y)=\int_{\mathbb{R}}f(x)e^{-2\pi ixy}\,dx \end{align}

で定義されます。$f$ が実験値の場合、このような積分は可能なのでしょうか。実験では無限個の標本をとることはできません。したがってフーリエ変換に含まれる積分は、有界な範囲 $I$ で打ち切る必要があります。$I$ の内側で 1 、外側で 0 の値をとる関数(窓関数、観測窓などと呼ぶ)を $w$ とおくと、実験データは $f$ ではなく $wf$ になります。

$wf$ のスペクトルを計算してみましょう。

\begin{align} \mathscr{F}(wf)=W\ast F \end{align}

畳込み定理の結果、このようになります。知りたい値 $F$ から $W\ast$ 分だけずれてしまっていますね。このように私たちが見ているスペクトルは真の(正しい)スペクトルではなく、推定されたスペクトルであると考えるべきでしょう。なお、この現象は「短時間フーリエ変換の不確定性原理(STFT 不確定性原理)」と呼ばれています。

データを制限するとその周波数はぼやける、ということですね。STFT 不確定性原理に注意しながら、信頼性の高い周波数解析を心がけましょう。

今回はここまで。次回はフーリエ変換の応用例で有名な信号処理の話をします。(written by J.Nishigata)

フーリエ12- スペクトルに関する理論と現実のギャップ