まず素朴な疑問から。関数は何で測りますか。関数には「エネルギー」と「広がり方(標準偏差)」が定義できます。今回は、関数をエネルギーと標準偏差で測ったとき、フーリエ変換の前後でどのように変化するのか調べたいと思います。

\begin{align} E_f=\int_{\mathbb{R}}|f|^2\,dx \end{align}

を自乗可積分な関数 $f$ のエネルギーと呼びます。$f$ のフーリエ像を $F$ とおいて計算すると

\begin{align} E_f&=\int_{\mathbb{R}}ff^{\ast}\,dx=\int_{\mathbb{R}}\bigg\{\int_{\mathbb{R}}F(y)e^{2\pi ixy}\,dy\bigg\}f^{\ast}\,dx\\ &=\int_{\mathbb{R}}F(y)\bigg\{\int_{\mathbb{R}}f^{\ast}(x)e^{2\pi ixy}\,dx\bigg\}\,dy=\int_{\mathbb{R}}FF^{\ast}\,dy=E_F \end{align}

すなわちフーリエ変換の前後でエネルギーは変化しません。これをパーセバルの関係式と呼びます。続いて標準偏差についてですが、説明を分りやすくするために、統計学の言葉で述べてみましょう。

エネルギーは規格化して確率密度の和であると考えます。

\begin{align} \mu_f=\int_{\mathbb{R}}x|f|^2\,dx,\ \mu_F=\int_{\mathbb{R}}y|F|^2\,dy \end{align}

は平均位置を意味します。平均位置からのずれの自乗平均は分散です。

\begin{align} \sigma_f^2=\int_{\mathbb{R}}(x-\mu_f)^2|f|^2\,dx,\ \sigma_F^2=\int_{\mathbb{R}}(y-\mu_F)^2|F|^2\,dy \end{align}

式を簡単にするために

\begin{align} f_0=f(x+\mu_f)e^{-2\pi i\mu_F x} \end{align}

とおくと、平均位置は零になります。また、ずらしただけですので分散は変わりません。最初からこのようにずらしている体で話を進めましょう。

$f$ が微分連続であり且つ無限遠で消えるならば

\begin{align} \mathscr{F}\partial f=\int_{\mathbb{R}}\partial fe^{-2\pi ixy}\,dx=2\pi iy\int_{\mathbb{R}}fe^{-2\pi ixy}\,dx=2\pi iyF \end{align}

が成り立ちます。したがって分散は

\begin{align} 4\pi^2\sigma_F^2=\int_{\mathbb{R}}|\mathscr{F}\partial f|^2\,dy=\int_{\mathbb{R}}|\partial f|^2\,dx \end{align}

と書き換えることができます。これを用いて分散の積を計算すると

\begin{align} \sigma_f^2\sigma_F^2&=\dfrac{1}{4\pi^2}\int_{\mathbb{R}}x^2|f|^2\,dx\int_{\mathbb{R}}|\partial f|^2\,dx\\ &\ge\dfrac{1}{4\pi^2}\bigg|\int_{\mathbb{R}}xf^{\ast}\partial f\,dx\bigg|^2\\ &\ge\dfrac{1}{16\pi^2}\bigg|2\mathrm{Re}\int_{\mathbb{R}}xf^{\ast}\partial f\,dx\bigg|^2\\ &=\dfrac{1}{16\pi^2}\bigg|\int_{\mathbb{R}}x(f^{\ast}\partial f+f\partial f^{\ast})\,dx\bigg|^2\\ &=\dfrac{1}{16\pi^2}\bigg|\int_{\mathbb{R}}x\partial(ff^{\ast})\,dx\bigg|^2\\ &=\dfrac{1}{16\pi^2}\bigg|\int_{\mathbb{R}}ff^{\ast}\,dx\bigg|^2\\ &=\dfrac{1}{16\pi^2} \end{align}

これで標準偏差の関係式が完成しました。

\begin{align} \sigma_f\sigma_F\ge\dfrac{1}{4\pi} \end{align}

この関係式は不確定性関係(不確定性原理)と呼ばれています。不確定性原理といえば、量子力学で登場するハイゼンベルグの不確定性原理を思い浮かべるのではないでしょうか。実はこの 2 者は同じ主張となっています。不確定性関係は信号処理や画像処理でも頻繁に使う重要な関係式です。

ちなみに不確定性関係の等号はどんなときに成立するのでしょうか。不等号の評価が 2 箇所存在しています。前者はコーシーの不等式を使っている部分で

\begin{align} \partial f=Cxf \end{align}

後者は実部のみを残す計算で

\begin{align} C\in\mathbb{R} \end{align}

が等号成立の条件です。これらの条件を満足する関数はガウシアンのみです。今回は、この辺まで。次回は実用上のスペクトルに関して話をします。(written by J.Nishigata)

フーリエ11- フーリエ変換で変わるもの、変わらないもの