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ラプラス方程式の一般解を求めるときにフーリエ級数が登場しました。関数 $f$ が以下のようにフーリエ級数で書ける場合、

\begin{align}
f(x)=\sum_{j=-\infty}^{\infty}c_je^{2\pi ijx}
\end{align}

それぞれの係数は次の性質を用いて簡単に計算できます。

\begin{align}
\int_{-1/2}^{1/2}e^{2\pi ijx}e^{-2\pi ikx}\,dx=\delta_{jk}
\end{align}

$f$ に指数関数を掛けて積分することにより、選択的に係数を取り出すことができます。

\begin{align}
\int_{-1/2}^{1/2}f(x)e^{-2\pi ikx}\,dx=c_k
\end{align}

問題はこの逆です。すなわち周期 1 の周期関数 $f$ に対して

\begin{align}
c_j=\int_{-1/2}^{1/2}f(x)e^{-2\pi ijx}\,dx
\end{align}

なる数列を定義すると

\begin{align}
f(x)=\sum_{j=-\infty}^{\infty}c_je^{2\pi ijx}
\end{align}

という等式は、どんなときに成立するでしょうか。$f$ が連続という条件だけで成立してくれたらうれしいですね。実際に右辺を計算して調べてみましょう。$-n$ から $n$ 項目までの計算は

\begin{align}
\sum_{j=-n}^nc_je^{2\pi ijz}&=\sum_{j=-n}^n\int_{-1/2}^{1/2}f(x)e^{2\pi ij(z-x)}\,dx\\
&=f(z)+\int_{-1/2}^{1/2}\{f(z-x)-f(z)\}\sum_{j=-n}^ne^{2\pi ijx}\,dx
\end{align}

指数の級数部分は等比級数なので簡単に計算できますね。

\begin{align}
\sum_{j=-n}^ne^{2\pi ijx}&=e^{-2\pi inx}\dfrac{1-e^{2\pi i(2n+1)x}}{1-e^{2\pi ix}}\\
&=\dfrac{e^{-\pi i(2n+1)x}}{e^{-\pi ix}}\dfrac{1-e^{2\pi i(2n+1)x}}{1-e^{2\pi ix}}\\
&=\dfrac{e^{-\pi i(2n+1)x}-e^{\pi i(2n+1)x}}{e^{-\pi ix}-e^{\pi ix}}\\
&=\dfrac{\sin(2n+1)\pi x}{\sin \pi x}
\end{align}

代入すると

\begin{align}
\sum_{j=-n}^nc_je^{2\pi ijz}=f(z)+\int_{-1/2}^{1/2}g(x)\sin(2n+1)\pi x\,dx,\ g(x)=\dfrac{f(z-x)-f(z)}{\sin\pi x}
\end{align}

となります。関数 $g$ には連続になってほしいので、 $f$ は微分連続であるとしておきましょう。このとき $g$ は一様連続でもあるので、任意の $\varepsilon > 0$ に対して $\delta$ が存在して、任意の $|x-y|< \delta$ に対して $|g(x)-g(y)|< \varepsilon$ が成立します。区間 $[-1/2,1/2]$ の $\delta$ よりも細かい細分 $\{x_j\}$ をとると

\begin{align}
&\bigg|\int_{-1/2}^{1/2}g(x)\sin(2n+1)\pi x\,dx\bigg|\\
&=\bigg|\sum_j\int_{x_j}^{x_{j+1}}\{g(x)-g(x_j)\}\sin(2n+1)\pi x\,dx+\sum_jg(x_j)\int_{x_j}^{x_{j+1}}\sin(2n+1)\pi x\,dx\bigg|\\
&< \sum_j\int_{x_j}^{x_{j+1}}\varepsilon\,dx+\sum_j\max|g|\bigg|\int_{x_j}^{x_{j+1}}\sin(2n+1)\pi x\,dx\bigg|\\
&\le\varepsilon+\sum_j\max|g|\dfrac{2}{(2n+1)\pi}
\end{align}

という評価が成立します。$n$ を充分大きくとると右辺はさらに上から $2\varepsilon$ で評価できます。$\varepsilon$ の任意性から

\begin{align}
\bigg|\int_{-1/2}^{1/2}g(x)\sin(2n+1)\pi x\,dx\bigg|\to 0\ \text{as }n\to\infty
\end{align}

が成り立ち、無事に目的の式

\begin{align}
f(x)=\sum_{j=-\infty}^{\infty}c_je^{2\pi ijx}
\end{align}

が得られました。今回はこの辺で終了です。次回はフーリエ級数を拡張していきましょう。(written by J.Nishigata)


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フーリエ8- フーリエ級数で表現できる関数について

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連続な自乗可積分関数 $f,g$ に対して

\begin{align}
(f\ast g)(y)=\int_{\mathbb{R}}f(y-x)g(x)\,dx
\end{align}

が定義できます。これを畳込み積分と呼びます。畳込み積分は信号処理や画像処理に頻出する重要な演算です。しかし、ぱっと見、あまり計算したくないですね。すべての $y$ の値に対して積分を実行しなければなりません。これを簡単にするのが今回のテーマの畳込み定理です。


$f,g$ がさらに絶対可積分であれば、フーリエ変換を定義できます。フーリエ変換の積を計算すると

\begin{align}
\mathscr{F}f(z)\mathscr{F}g(z)&=\int_{\mathbb{R}}g(x)e^{-2\pi ixz}\,dx\int_{\mathbb{R}}f(y)e^{-2\pi iyz}\,dy\\
&=\int_{\mathbb{R}}g(x)e^{-2\pi ixz}\bigg\{\int_{\mathbb{R}}f(y-x)e^{-2\pi i(y-x)z}\,dy\bigg\}\,dx\\
&=\int_{\mathbb{R}}\bigg\{\int_{\mathbb{R}}g(x)f(y-x)e^{-2\pi iyz}\,dy\bigg\}\,dx\\
&=\int_{\mathbb{R}}\bigg\{\int_{\mathbb{R}}g(x)f(y-x)e^{-2\pi iyz}\,dx\bigg\}\,dy\\
&=\int_{\mathbb{R}}(f\ast g)(y)e^{-2\pi iyz}\,dy
\end{align}

このように、畳込み積分もフーリエ変換可能になり

\begin{align}
\mathscr{F}f(z)\mathscr{F}g(z)=\mathscr{F}(f\ast g)(z)
\end{align}

という等式が成立します。これを畳込みの定理と呼びます。この定理を使うと、畳込み積は、スペクトル空間では簡単な数の積(通常の積)となり、非常にシンプルになります。


信号処理や画像処理で登場する畳込み積分は、必ずと言っていいほどスペクトル空間で実行されます。その根拠は、シンプルになるからではなく計算量が減るからです。フーリエ変換の高速化と畳込み積分の高速化の話題は別の機会に話しましょう。


次回は、実空間とスペクトル空間の対応関係についてお話します。(written by J.Nishigata)


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フーリエ9- フーリエ級数からフーリエ変換へ