MathJax = {
  chtml: {
    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






ラプラス方程式とヘルムホルツ方程式の解を調べるために、動径方向と円周方向への分離解を求めました。分離解の線型結合も同じく解ですが、これが一般解であるかと問われると困ってしまいます。


微分方程式の解は初期値に対して決まります。したがって初期値の網羅性を調べれば一般解であるか否か判明します。分離解の円周への制限は $\sin(\alpha\theta),\cos(\alpha\theta),\alpha=0,1,\ldots$ です。これらの関数の線型結合で表される関数全体はどんな関数空間でしょうか。


ここで登場するのがフーリエ級数です。フーリエ級数の性質によって既に求めた特殊解の線型結合が一般解であることが分ります。これでラプラス方程式とヘルムホルツ方程式を解く話は解決しました。


熱伝導方程式に話に戻ってみましょう。上の方程式が解かれたことで熱伝導方程式の分離解もすべて求まったことになります。この解の線型結合は一般解でしょうか。


結論は、ベッセル-フーリエ級数の話に繋がっていき解かれるのですが、興味のある方は挑戦してみてください。とりあえず次回はフーリエ級数の話をします。(written by J.Nishigata)


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フーリエ7- 変数分離型の解が張る関数空間の大きさ

MathJax = {
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    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






前回は微分連続な周期関数のフーリエ級数をやりました。今回はその拡張にあたり、微分連続な関数 $f$ に対して

\begin{align}
f_L(x+nL)=f\big|[-L/2,L/2)(x)
\end{align}

のように周期関数を作ります。前回と大きく違う点は、周期の継ぎ目で連続とは限らないということです。この点に注意すると

\begin{align}
g(x)=\dfrac{f_L(z-x)-f_L(z)}{\sin(\pi x/L)}
\end{align}

と定義するのは NG です。$z$ が継ぎ目のとき $f$ の $z$ での右極限と左極限は異なります。これを反映して

\begin{align}
g(x)=\dfrac{f_L(z-x)+f_L(z+x)-f_L(z-0)-f_L(z+0)}{\sin(\pi x/L)}
\end{align}

と定義しましょう。すると

\begin{align}
\sum_{j=-n}^nc_je^{2\pi ijz/L}&=\dfrac{f_L(z-0)+f_L(z+0)}{2}L+\int_0^{L/2}g(x)\sin\dfrac{(2n+1)\pi x}{L}\,dx\\
&\to\dfrac{f_L(z-0)+f_L(z+0)}{2}L\ \text{as }n\to\infty
\end{align}

が得られます。これでフーリエ変換の準備が整いました。$L$ を大きくしていきましょう。


これで終わってしまうといまいちです。フーリエ変換の形が出てくるというアイデア的には良いのですが、厳密性がありません。特に積分可能性に関して全く言及していないため危険です。$f$ の条件は微分連続である以外にどのように条件を追加すべきでしょうか。


$f$ が絶対可積分ならば $f(x)e^{-2πixy}$ も絶対可積分になります。したがって、このときフーリエ変換が定義できます。

\begin{align}
\mathscr{F}f(y)=\int_{\mathbb{R}}f(x)e^{-2\pi ixy}\,dx
\end{align}

同様にして逆フーリエ変換も定義できます。

\begin{align}
\mathscr{F}^{-1}f(y)=\int_{\mathbb{R}}f(x)e^{2\pi ixy}\,dx
\end{align}

ここで直ちに

\begin{align}
\mathscr{F}^{-1}\mathscr{F}=1
\end{align}

とやってしまいがちですが、実はこれは自明ではありません。少し確認してみましょう。

\begin{align}
\mathscr{F}^{-1}\mathscr{F}f(z)&=\lim_{n\to\infty}\int_{-n}^ne^{2\pi iyz}\bigg\{\int_{\mathbb{R}}f(x)e^{-2\pi ixy}\,dx\bigg\}\,dy\\
&=f(z)\lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}}\dfrac{\sin(2\pi nx)}{\pi x}\,dx+\lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}}\dfrac{f(z-x)-f(z)}{\pi x}\sin(2\pi nx)\,dx\\
&=f(z)\lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}}\dfrac{\sin(2\pi nx)}{\pi x}\,dx
\end{align}

残ってしまった極限の項は留数定理を使って計算します。$x=re^{i\theta}$ とおくと

\begin{align}
r\dfrac{e^{ix}}{x}=e^{-r\sin\theta}e^{ir\cos\theta}e^{-i\theta}\to 0\ \text{as }r\to\infty\ \text{when }r\sin\theta > 0
\end{align}

ですので

\begin{align}
\int_{\mathbb{R}}\dfrac{\sin(2\pi nx)}{\pi x}\,dx&=\dfrac{1}{\pi i}\infty_{\mathbb{R}}\dfrac{i\sin x}{x}\,dx\\
&=\dfrac{1}{\pi i}\int_{\mathbb{R}}\dfrac{e^{ix}}{x}\,dx\\
&=\mathrm{Res}(0)=1
\end{align}

のように計算できます。したがって

\begin{align}
\mathscr{F}^{-1}\mathscr{F}f(z)=f(z)
\end{align}

目的の式が証明できました。無事フーリエ変換へ繋がりましたね。次回はフーリエ変換を知っておくと得することの代表例として、畳込みの定理をやります。(written by J.Nishigata)


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フーリエ8- フーリエ級数で表現できる関数について