ラプラス方程式とヘルムホルツ方程式の解を調べるために、動径方向と円周方向への分離解を求めました。分離解の線型結合も同じく解ですが、これが一般解であるかと問われると困ってしまいます。

微分方程式の解は初期値に対して決まります。したがって初期値の網羅性を調べれば一般解であるか否か判明します。分離解の円周への制限は $\sin(\alpha\theta),\cos(\alpha\theta),\alpha=0,1,\ldots$ です。これらの関数の線型結合で表される関数全体はどんな関数空間でしょうか。

ここで登場するのがフーリエ級数です。フーリエ級数の性質によって既に求めた特殊解の線型結合が一般解であることが分ります。これでラプラス方程式とヘルムホルツ方程式を解く話は解決しました。

熱伝導方程式に話に戻ってみましょう。上の方程式が解かれたことで熱伝導方程式の分離解もすべて求まったことになります。この解の線型結合は一般解でしょうか。

結論は、ベッセル-フーリエ級数の話に繋がっていき解かれるのですが、興味のある方は挑戦してみてください。とりあえず次回はフーリエ級数の話をします。(written by J.Nishigata)

フーリエ7- 変数分離型の解が張る関数空間の大きさ