【背景・目的】　目的を振り返ってみましょう。　　・「商品管理を簡素化したい」　　・「スマホからバーコードを含んだ画像を撮り（※）、商品管理へリンクさせることで実現させたい」　　※商品の売り場などを想定　第１回、第２回にわたってRINGによるバーコードの読み取りの改善・可能性の検証を行なってきました。【第３回】　【USE CASE：バーコード】最終回の今回は、前回目視で確認したRINGの効果の定量化を実施します。　フリーソフトウェア「ImageJ」でRING適用前後の画像を取り込み、プロファイルデータを定量評価していきます。【方法・結果】　以下①②で定量的に効果がある（※）ことを評価しました。　※黒と白の差が大きくなる　①Image_Jにて、バーコードの黒白を数値化する。　　左：RING適用後　　右：RING適用前

【USE CASE：バーコード】（第３回）スマホから取得した画像を、商品管理へリンクさせる取り組み

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フーリエ変換を説明するために始めたトライアルですが、タイトルにある通り早くもフーリエの名前が登場します。前回、エネルギー保存の式を微分系で求めました。今回は続きからです。


熱は温度の高いところから低い方へと伝わります。温度の高いところから低い方へ、の部分は、温度勾配の逆向きということになります。その方向へ熱が流れます。これを式にすると、或る係数 $k$ が存在して

\begin{align}
f=-k\,\mathrm{grad}u
\end{align}

となります。これをフーリエの法則といいます。前回と今回で得られた方程式を眺めてみましょう。

\begin{align}
&-\mathrm{div}f=c\rho\partial_tu,\\
&f=-k\,\mathrm{grad}u
\end{align}

$c,\rho,k$ は物性の定数なので既知であるとして、未知の関数は $u,f$ です。未知関数の個数と方程式の本数が一致しました。問題が解ける兆候ですね。計算を進めましょう。


フーリエの法則をエネルギー保存の式に代入すれば、温度だけの方程式が得られます。

\begin{align}
\Delta u=\dfrac{c\rho}{k}\partial_t u
\end{align}

これを熱伝導方程式と呼びます。温度の時間的変化(右辺)が空間的変化(左辺)として伝搬する、という意味があります。右辺の係数の分だけ時間の縮尺を変えると

\begin{align}
\Delta u=\partial_tu
\end{align}

と書いてしまって良いでしょう。熱伝導方程式が解ければ、当初の目的であった「熱の伝搬を原理的に知る」ことは達成されます。


難しそうですね。充分な時間経過後、温度の時間変化が無くなる(これを定常状態という)と仮定すると、右辺は消えて $\Delta u=0$ という式になります。これもまだ難しいですか。


今回は一旦ここまで。次回は熱伝導方程式を解いていきます。(written by J.Nishigata)


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フーリエ1- フーリエ変換説明へ向けて、蒸気機関の時代の数学と物理学