フーリエ変換を説明するために始めたトライアルですが、タイトルにある通り早くもフーリエの名前が登場します。前回、エネルギー保存の式を微分系で求めました。今回は続きからです。

熱は温度の高いところから低い方へと伝わります。温度の高いところから低い方へ、の部分は、温度勾配の逆向きということになります。その方向へ熱が流れます。これを式にすると、或る係数 $k$ が存在して

\begin{align} f=-k\,\mathrm{grad}u \end{align}

となります。これをフーリエの法則といいます。前回と今回で得られた方程式を眺めてみましょう。

\begin{align} &-\mathrm{div}f=c\rho\partial_tu,\\ &f=-k\,\mathrm{grad}u \end{align}

$c,\rho,k$ は物性の定数なので既知であるとして、未知の関数は $u,f$ です。未知関数の個数と方程式の本数が一致しました。問題が解ける兆候ですね。計算を進めましょう。

フーリエの法則をエネルギー保存の式に代入すれば、温度だけの方程式が得られます。

\begin{align} \Delta u=\dfrac{c\rho}{k}\partial_t u \end{align}

これを熱伝導方程式と呼びます。温度の時間的変化(右辺)が空間的変化(左辺)として伝搬する、という意味があります。右辺の係数の分だけ時間の縮尺を変えると

\begin{align} \Delta u=\partial_tu \end{align}

と書いてしまって良いでしょう。熱伝導方程式が解ければ、当初の目的であった「熱の伝搬を原理的に知る」ことは達成されます。

難しそうですね。充分な時間経過後、温度の時間変化が無くなる(これを定常状態という)と仮定すると、右辺は消えて $\Delta u=0$ という式になります。これもまだ難しいですか。

今回は一旦ここまで。次回は熱伝導方程式を解いていきます。(written by J.Nishigata)

フーリエ2- フーリエの法則と熱伝導方程式