前回の積分を使ってポンペイユ変換の導関数を変形しましょう。$p$ 方向への導関数は

\begin{align} \dfrac{1}{\sigma_{n-2}}\int_{S^{n-1}}\bigg\{\int_{\partial S_u}\partial_pg^{-1}\mathscr{P}f(1)\omega_v^u\bigg\}\omega_u=\int_{\partial\Omega}\dfrac{\langle p,\nu\rangle}{\langle x,\nu\rangle}\psi(\|x+re_1\|,y)\omega \end{align}

$pq$ 平面に関する回転方向への導関数は

\begin{align} \dfrac{1}{\sigma_{n-2}}\int_{S^{n-1}}\bigg\{\int_{\partial S_u}\partial_{pq} g^{-1}\mathscr{P}f(1)\omega_v^u\bigg\}\omega_u=\int_{\partial\Omega}\dfrac{-\langle q,x\rangle\langle p,\nu\rangle+\langle p,x\rangle\langle q,\nu\rangle}{\langle x,\nu\rangle}\psi(\|x+re_1\|,y)\omega \end{align}

となります。これら $2$ つの式の右辺をどのように考えればよいでしょうか。$\psi$ の積分変換であると捉えるのが良さそうです。$X=\|x+re_1\|$ と置換して $X$ に関する積分を分離しましょう。

\begin{align} \dfrac{\omega}{\langle x,\nu\rangle}=\dfrac{\|x+re_1\|}{\sqrt{\|x+re_1\|^2-\langle x+re_1,\nu\rangle^2}}\,dX\wedge\eta \end{align}

とすれば $\eta$ は $\{x\in\partial\Omega:\|x+re_1\|=X\}$ の体積形式になりますね。

\begin{align} &\dfrac{1}{\sigma_{n-2}}\int_{S^{n-1}}\bigg\{\int_{\partial S_u}\partial_pg^{-1}\mathscr{P}f(1)\omega_v^u\bigg\}\omega_u=\int_m^M\bigg\{\int_{\{x\in\partial\Omega:\|x+re_1\|=X\}}\dfrac{\langle p,\nu\rangle\|x+re_1\|}{\sqrt{\|x+re_1\|^2-\langle x+re_1,\nu\rangle^2}}\eta\bigg\}\psi(X,y)\,dX,\\ &\dfrac{1}{\sigma_{n-2}}\int_{S^{n-1}}\bigg\{\int_{\partial S_u}\partial_{pq} g^{-1}\mathscr{P}f(1)\omega_v^u\bigg\}\omega_u=\int_m^M\bigg\{\int_{\{x\in\partial\Omega:\|x+re_1\|=X\}}\dfrac{(-\langle q,x\rangle\langle p,\nu\rangle+\langle p,x\rangle\langle q,\nu\rangle)\|x+re_1\|}{\sqrt{\|x+re_1\|^2-\langle x+re_1,\nu\rangle^2}}\eta\bigg\}\psi(X,y)\,dX \end{align}

ここに $m=m(r),M=M(r)$ は $\|x+re_1\|,x\in\partial\Omega$ の最小値と最大値です。以上で $\psi$ の積分変換の形になりました。今回はここまで。次回は、この積分変換の積分核を調べます。(written by J.Nishigata)

研究151- 球面の族に関する積分変換に掛かる積分核