$\Omega$ を $\mathbb{R}^n$ の滑らかな凸体としましょう。$\Omega$ が定幅($=c$)ならば $\Omega$ の $n-1$ 次元平面への射影の幅も $c$ で一定になります。射影の体積(外測と呼ぶ)が上から

\begin{align} \dfrac{c^{n-1}\pi^{(n-1)/2}}{2^{n-1}\Gamma((n+1)/2)} \end{align}

で評価されていると仮定しましょう。すべての射影方向に渡り外測を積分すると、$\partial\Omega$ の体積は上から

\begin{align} \mathrm{vol}(\partial\Omega)\le\dfrac{nc^{n-1}\pi^{n/2}}{2^{n-1}\Gamma((n+2)/2)} \end{align}

で評価されます。ここで等周不等式

\begin{align} \mathrm{vol}(\Omega)^{n-1}\le\dfrac{\Gamma((n+2)/2)}{n^n\pi^{n/2}}\mathrm{vol}(\partial \Omega)^n \end{align}

の右辺を評価しましょう。

\begin{align} \mathrm{vol}(\Omega)^{n-1}\le\bigg\{\dfrac{c^n\pi^{n/2}}{2^n\Gamma((n+2)/2)}\bigg\}^{n-1} \end{align}

すなわち

\begin{align} \mathrm{vol}(\Omega)\le\dfrac{c^n\pi^{n/2}}{2^n\Gamma((n+2)/2)} \end{align}

が成り立ちます。帰納的にこの評価式は成り立ちそうな雰囲気がありますが、初項はどうでしょうか。$n=1$ を代入すると右辺は

\begin{align} \dfrac{c\pi^{1/2}}{2\Gamma(3/2)}=c \end{align}

となり評価式は成立します。以上で定幅な凸体の体積評価ができました。なお、等周不等式の等号成立は $\Omega$ が球体の場合に限ります。今回はここまで。次回は $\Omega$ が球体であるための必要充分条件を考えます。(written by J.Nishigata)

研究143- 定幅な凸体の体積評価