前回計算したポンペイユ変換の導関数を円周に沿って積分してみましょう。$e_1$ 方向へ $r$ だけ並進運動させ原点を中心に $\theta$ だけ回転運動させる運動群の元を $g$ とします。

\begin{align} \partial_pg^{-1}\mathscr{P}f(1)=\int_0^Lf(R_{\theta}a+re(\theta))\langle p,\nu\rangle\,dt \end{align}

$\theta$ に関して一周積分すると

\begin{align} \int_0^{2\pi}\partial_pg^{-1}\mathscr{P}f(1)\,d\theta=\int_0^L\psi(\|a+re_1\|)\langle p,\nu\rangle\,dt \end{align}

回転方向への導関数に関しても同様に

\begin{align} \int_0^{2\pi}\partial_{pq}g^{-1}\mathscr{P}f(1)\,d\theta&=-\int_0^L\psi(\|a+re_1\|)\langle a+re_1,\partial a\rangle\,dt\\ &=-\int_0^L\psi(\|a+re_1\|)\langle a,\partial a\rangle\,dt-r\int_0^L\psi(\|a+re_1\|)\langle e_1,\partial a\rangle\,dt\\ &=-\int_0^L\psi(\|a+re_1\|)\langle a,\partial a\rangle\,dt+r\int_0^{2\pi}\partial_{e_2}g^{-1}\mathscr{P}f(1)\,d\theta \end{align}

今回はここまで。(written by J.Nishigata)

研究135- ポンペイユ変換と環状項