前回ポンペイユ変換の導関数を計算しましたが、分り易くするために $\partial\Omega$ の弧長表示を用いて具体的に書き直してみましょう。

\begin{align} \partial_pg^{-1}\mathscr{P}f(1)=\int_{\partial\Omega}g^{-1}f\langle p,(dx^2,-dx^1)\rangle \end{align}

$\partial a\,dt=(dx^1,dx^2)$ なのでこれを $-\pi/2$ 回転させれば $\nu\,dt=(dx^2,-dx^1)$ が得られます。代入すると

\begin{align} \partial_pg^{-1}\mathscr{P}f(1)=\int_0^Lg^{-1}f(a(t))\langle p,\nu\rangle\,dt \end{align}

簡単ですね。続いてラプラシアン像は

\begin{align} \Delta g^{-1}\mathscr{P}f(1)&=\int_{\partial\Omega}\langle \nabla g^{-1}f,(dx^2,-dx^1)\rangle\\ &=\int_0^L\langle \nabla g^{-1}f(a(t)),\nu\,dt\rangle\\ &=\int_0^L\partial_{\nu}g^{-1}f(a(t))\,dt \end{align}

回転方向の導関数は

\begin{align} \partial_{pq} g^{-1}\mathscr{P}f(1)=-\int_0^Lg^{-1}f(a(t))\langle a(t),\partial a(t)\rangle \,dt \end{align}

今回はここまで。(written by J.Nishigata)

研究134- ポンペイユ変換の導関数を弧長表示で書き換える