$\Omega$ の面積は

\begin{align} |\Omega|=\dfrac{1}{2}\int_0^La(t)\times\partial a(t)\,dt=\dfrac{1}{2}\int_0^LC_2(t)\,dt \end{align}

です。$\theta=\xi(t)$ によって弧長表示から弧度表示に変換してみましょう。

\begin{align} |\Omega|=\dfrac{1}{2}\int_0^{2\pi}\dfrac{C_2(\xi^{-1}(\theta))}{\partial\xi(\xi^{-1}(\theta))}\,d\theta \end{align}

この分母に現れているものが曲率ですね。注意ですが、分母が零になることはありません。狭義凸体の曲率は常に正です。曲率を $\chi$ と書いておくと

\begin{align} |\Omega|=\dfrac{1}{2}\int_0^{2\pi}\dfrac{C_2(\xi^{-1}(\theta))}{\chi(\xi^{-1}(\theta))}\,d\theta \end{align}

となります。ついでに周の長さも同様に計算してみると

\begin{align} |\partial\Omega|=\int_0^Ldt=\int_0^{2\pi}\dfrac{1}{\chi(\xi^{-1}(\theta))}\,d\theta \end{align}

ですね。今回はここまで。次回は後半の命題 b) を証明します。(written by J.Nishigata)

研究131- 曲率を用いた面積表示