まず、環状項をラプラシアンの冪級数でパラメトライズしておきます。

\begin{align} &\psi=\sum_{i=0}^{\infty}\alpha^i(r^2\Delta)^i\langle 1\rangle_k,\\ &r\partial_r\psi=\sum_{i=1}^{\infty}\beta^i(r^2\Delta)^i\langle 1\rangle_k \end{align}

コスト関数は前回登場した

\begin{align} \int_0^{2\pi}(\partial_r-\cos\theta\partial_{y^1}-\sin\theta\partial_{y^2})\psi(r,z+re(\theta))\,d\theta \end{align}

の自乗平均を使います。

\begin{align} E=\dfrac{1}{|\Omega|}\int_{\Omega}\bigg\{\int_0^{2\pi}(\partial_r-\cos\theta\partial_{y^1}-\sin\theta\partial_{y^2})\psi(r,z+re(\theta))\,d\theta\bigg\}^2\,dz \end{align}

平均処理をする理由は、$1$ 点のみでの係数の算出では統計的な誤差が乗ってしまうからです。画像全体でひと組の係数を求めたい場合は $\Omega$ を画像全体に設定すれば良いでしょう。

コスト関数 $E$ の最小値問題を解くことにより $\alpha,\beta$ が得られ、環状項を計算することができるようになります。以上で最初の課題「PSF が未知な場合の対処法」は解決しました。(written by J.Nishigata)

研究96- ブラインド-デコンボリューションのコスト関数