結局 $2$ つ目の漸化式を使うことなく反転公式が構築できてしまいました。$2$ つ目の漸化式はどんなものであったのか復習すると

\begin{align} \dfrac{n-2}{r}\mathscr{V}_if+\partial_r\mathscr{V}_if=-\dfrac{1}{r}\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{qu_j}\mathscr{S}_if+2\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{u_j}\mathscr{S}_if \end{align}

でしたね。今回は、別解を考えるという意味で、この漸化式の使い道を考えてみます。まず、両辺に $r^{n-2}$ を掛けてみましょう。

\begin{align} (n-2)r^{n-3}\mathscr{V}_if+r^{n-2}\partial_r\mathscr{V}_if=-r^{n-3}\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{qu_j}\mathscr{S}_if+2r^{n-2}\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{u_j}\mathscr{S}_if \end{align}

左辺は積分したら簡単になりますね。今までの議論では、変数 $r$ に関して、与えられた $r$ での導関数のみ許可されていたのですが、この条件を弱くすれば積分ができます。

\begin{align} r_2^{n-2}\mathscr{V}_if(r_2,q,z)-r_1^{n-2}\mathscr{V}_if(r_1,q,z)=\int_{r_1}^{r_2}\bigg(-r^{n-3}\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{qu_j}\mathscr{S}_if+2r^{n-2}\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{u_j}\mathscr{S}_if\bigg)\,dr \end{align}

$n > 2$ の場合は、存在するか否かは別問題として

\begin{align} \mathscr{V}_if(\infty,q,z)=\int_{r_1}^{\infty}\bigg(-r^{n-3}\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{qu_j}\mathscr{S}_if+2r^{n-2}\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{u_j}\mathscr{S}_if\bigg)\,dr \end{align}

が極限で得られます。$f$ に課される条件が強すぎるため、面白くありません。$n=2$ の場合はどうでしょうか。

\begin{align} \mathscr{V}_2f(r_2,q,z)-\mathscr{V}_2f(r_1,q,z)=\int_{r_1}^{r_2}\bigg(-\dfrac{1}{r}u\partial_{qu}\mathscr{S}_2f+2u\partial_{u}\mathscr{S}_2f\bigg)\,dr \end{align}

$3$ つ目の漸化式も書くと

\begin{align} \dfrac{1}{r}\langle u,\partial_{qu}\mathscr{V}_2f\rangle=\partial_r\mathscr{S}_2f-2\partial_q\mathscr{S}_2f \end{align}

こちらも $q$ に関して積分して

\begin{align} \dfrac{1}{r}\{\langle R_{\pi/2}q,\mathscr{V}_2f(r,q,z)\rangle-\langle e_2,\mathscr{V}_2f(r,e_1,z)\rangle\}=\int_{e_1}^q\{\partial_r\mathscr{S}_2f-2\partial_q\mathscr{S}_2f\}\,\langle R_{\pi/2}q,dq\rangle \end{align}

以上の $2$ つの式を連立すれば

\begin{align} \langle R_{\pi/2}q,\mathscr{V}_2f(r,q,z)\rangle=P(z)+\int_{r_1}^{r}\bigg(-\dfrac{1}{r}\partial_{qu}\mathscr{S}_2f+2\partial_{u}\mathscr{S}_2f\bigg)\,dr+r\int_{e_1}^q\{\partial_r\mathscr{S}_2f(r_1,q,z)-2\partial_q\mathscr{S}_2f(r_1,q,z)\}\,\langle R_{\pi/2}q,dq\rangle \end{align}

ここに $P(z)=\langle R_{\pi/2}e_1,\mathscr{V}_2f(r_1,e_1,z)\rangle$ です。$\mathscr{V}_2f$ が $P(z)$ の不定性を除いて定まりました。後は $P(z)$ を求めるだけですが、これは簡単で $q$ に関して $1$ 周積分すれば良いです。今回はここまで。(written by J.Nishigata)

研究86- 2 つ目の漸化式の使いどころ