MathJax = {
  chtml: {
    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






前回の議論から $V$ のポテンシャル $W$ が存在し、前々回の議論から $H^0$ 成分を除いて $W$ は決定します。

\begin{align}
\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{qu_j}W=\sum_{j=1}^{n-1}u_j\langle u_j,V\rangle=V
\end{align}

これで $V$ が計算できました。$3$ つ目の漸化式を用いれば $\mathscr{S}_if$ から $\mathscr{V}_if$ を計算できるということですね。


$2$ つ目の漸化式は使わずじまいでしたが、これは別途考えることにしましょう。


さて、漸化式を辿ると $\mathscr{V}_if,\mathscr{S}_if$ のインデックスは $2,4,6,\ldots$ のように偶数を辿ることが分かります。したがって、最終項の扱いは $n$ の偶奇により異なります。まずは奇数の場合から考えましょう。

\begin{align}
\mathscr{S}_2f\mapsto\mathscr{V}_2f\mapsto\mathscr{S}_4f\mapsto\cdots\mapsto\mathscr{S}_{n-1}f\mapsto\mathscr{V}_{n-1}f
\end{align}

最終稿は $\mathscr{S}_{n-1}f,\mathscr{V}_{n-1}f$ ですね。$1$ つ目の漸化式は $i < n-1$ を条件に途中の計算を実行しましたが、$i=n-1$ の場合はどうなるのでしょうか。

\begin{align}
&\dfrac{1}{2}\bigg\{\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}\mathscr{V}_{n-1}f(r,q,z)\rangle+\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}\mathscr{V}_{n-1}f(r,-q,z+2rq)\rangle\bigg\}\\
&\quad-\dfrac{r}{2}\bigg\{\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{u_j}\mathscr{V}_{n-1}f(r,q,z)\rangle+\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{u_j}\mathscr{V}_{n-1}f(r,-q,z+2rq)\rangle\bigg\}+\mathscr{S}_{n-1}f(r,q,z)\\
&=r\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\cos\varphi(\sin\varphi\partial_q-\cos\varphi\partial_x)f\omega^q\bigg\}\,d\varphi+\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin\varphi f\omega^q\bigg\}\, d\varphi\\
&=-\bigg[\int_{\partial S_q}\cos\varphi f\omega^q\bigg]_0^{\pi}\\
&=\int_{\partial S_q}\{f(z)+f(2rq+z)\}\omega^q\\
&=\sigma_{n-2}\{f(z)+f(2rq+z)\}
\end{align}

非常にシンプルな式になりました。この式を

\begin{align}
2f(z)=\{f(z)+f(2rq+z)\}-\{f(z+2rq)+f(z+rq+\sqrt{3}ru)\}+\{f(z+rq+\sqrt{3}ru)+f(z)\}
\end{align}

の右辺に使えば $f(z)$ が求まります。以上で、$n$ が奇数の場合の $\mathscr{S}_2$ の反転公式が構築できました。


では、$n$ が偶数の場合はどうなるでしょうか。

\begin{align}
\mathscr{S}_2f\mapsto\mathscr{V}_2f\mapsto\mathscr{S}_4f\mapsto\cdots\mapsto\mathscr{S}_nf\mapsto\mathscr{V}_nf
\end{align}

最終稿は $\mathscr{S}_nf,\mathscr{V}_nf$ ですね。最初に注意していた通り、$\mathscr{V}_nf$ は変数 $\varphi$ に関して円周上のヒルベルト変換になっていますね。なお、$H^0$ 成分は $\mathscr{S}_nf$ から計算できます。これですべての場合の反転公式が完成しました。


今回はここまで。次回は、$2$ つ目の漸化式に関して少し考えてみましょう。(written by J.Nishigata)


Copy Right 2020-現在 ALXIS DATA, Inc. All Right Reserved.

研究85- 球面の族に関する積分変換と球面上の積分変換の関係その２

MathJax = {
  chtml: {
    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






これまで、幾何光学と波動光学の説明をやってきました。光学研究の歴史に従えば、次は量子光学の説明をしていくことになります。このような光のパラダイムの遷移と理論は、光学のソフトウェア的な歴史の一端であると考えることができます。


光学を理解するためにはソフトウェア面だけでなくハードウェア面の事情も知っておかなければなりません。我々が作り出してきた光学ハードは、生命進化の過程で獲得してきた「眼」という臓器のトレースですので、眼の進化を紐解くと良いでしょう。


そもそも光を利用することの起源は何だったのでしょうか。身の回りを見渡してみて直ちに気が付くことは、葉緑体の光合成という現象です。原始生命の誕生した当初も、光というものは地熱と並び代謝に必要なエネルギー源として重要な役割を果たしてきました。


光エネルギーによる代謝の効率を上げるために発現した臓器が眼の起源ですね。時期的にはカンブリア紀初期と言われています。皆さんはホッピングアイという玩具をご存じでしょうか。原始の眼の構造はこの玩具と同じで、光エネルギーを吸収すると分子配置の一部がシス型からトランス型へ変化するタンパク質「オプシン」が眼の正体です。このような眼は「アイパッチ眼」と呼ばれています。


アイパッチ眼の機能は、光の有無の判定だけですので、フォトトランジスタと同じ機能をもつと考えると分かりやすいでしょう。


アイパッチ眼は現在の我々の眼とは大きく異なりますが、そのギャップを埋める進化が起こったのはカンブリア爆発であると言われています。進化の方向性は出っ張る方向と窪んでいく方向に分けることができます。前者は昆虫のような複眼に進化していくのですが、一方我々の眼に繋がっているのは後者の進化ですね。


眼が窪んでいくと、まず光が飛来する方向を検知することができるようになります。更に進化が進みピンホールカメラのような構造になると、結像するという現象が起きます。このような眼は、文字通り「ピンホール眼」と呼ばれています。アイパッチ眼がピンホール眼に進化するのに要した世代数は 20 万世代強であると推測されています。


生きた化石と呼ばれるオウムガイの眼はピンホール眼ですね。


我々の眼の構造までは後もう一歩ですね。ピンホールによる像は暗いという問題を解決するために水晶体というレンズの構造が追加されていきます。このような眼は、文字通り「レンズ眼」と呼ばれています。ピンホール眼がレンズ眼に進化するのに要した世代数は 16 万世代弱であると推測されています。


以上が眼の進化の歴史です。原始の眼から我々の眼の構造に至るまでに(僅か) 36 万世代、1 世代 1 年とカウントすると 36 万年で到達しています。眼の進化が、カンブリア爆発という一点で行なわれたということは重要なことです。


さて、眼の進化「アイパッチ眼→ピンホール眼→レンズ眼」をソフトウェア的なパラダイムに紐付けると面白いことが分かります。「アイパッチ眼 = 量子光学的な眼」「ピンホール眼 = 波動光学的な眼」「レンズ眼 = 幾何光学的な眼」すなわち我々の光学理解と逆の方向性で光の性質を取り入れていることが分かります。


我々の光学理解が、眼の進化の歴史を始点まで追うことができる状態であることも重要です。もう一つ付け加えておくと、我々の光学理解は直近数百年間で急激に進んだことも特筆すべきでしょう。


これらを踏まえた上で、次回は今後の光学について考えてみましょう。(written by J.Nishigata)


Copy Right 2020-現在 ALXIS DATA, Inc. All Right Reserved.

研究86- 2 つ目の漸化式の使いどころ