前回どこまでやったかというと

\begin{align} &\tilde{A}\mathscr{K}_K^-f=\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{\mu_1}\dfrac{\sigma_{n-1}}{N_{l_i}}c_{l_i}E_{\tilde{A}}(\lambda_{l_i})f_{l_i}+A\int_{\partial S_y}\partial_yf\omega^y,\\ &\tilde{B}\mathscr{K}_K^+f=\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{\mu_0}\dfrac{\sigma_{n-1}}{N_{k_i}}c_{k_i}E_{\tilde{B}}(\lambda_{k_i})f_{k_i}+B\int_{\partial S_y}f\omega^y \end{align}

という式まで変形してきました。既にファンク変換と半球面コサイン変換はファンク-ヘッケの定理で解析済みですので、右辺の最後の項にファンク-ヘッケの定理を使うことは容易ですね。

\begin{align} &\int_{\partial S_y}\partial_yf\omega^y=\sum_{i=0}^{\infty}\alpha_if_i,\\ &\int_{\partial S_y}f\omega^y=\sum_{i=0}^{\infty}\beta_if_i \end{align}

と書いておきましょう。更にフーリエ級数表示に合わせる意味で $\mathscr{K}_K^-f,\mathscr{K}_K^+f$ も展開しておきます。

\begin{align} &\mathscr{K}_K^-f=\sum_{i=0}^{\infty}m_i^-f_i,\\ &\mathscr{K}_K^+f=\sum_{i=0}^{\infty}m_i^+f_i \end{align}

これらの表現で改めて前回の式を書いてみましょう。

\begin{align} &\sum_{i=0}^{\infty}m_i^-E_{\tilde{A}}(\lambda_i)f_i=\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{\mu_1}\dfrac{\sigma_{n-1}}{N_{l_i}}c_{l_i}E_{\tilde{A}}(\lambda_{l_i})f_{l_i}+\sum_{i=0}^{\infty}\alpha_iE_A(\lambda_i)f_i,\\ &\sum_{i=0}^{\infty}m_i^+E_{\tilde{B}}(\lambda_i)f_i=\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{\mu_0}\dfrac{\sigma_{n-1}}{N_{k_i}}c_{k_i}E_{\tilde{B}}(\lambda_{k_i})f_{k_i}+\sum_{i=0}^{\infty}\beta_iE_B(\lambda_i)f_i \end{align}

$E_{\tilde{A}},E_{\tilde{B}}$ は簡単に因数分解できますね。$\tilde{A},\tilde{B}$ の定義から

\begin{align} &E_{\tilde{A}}=-\lambda+\sum_{j=1}^{\mu_0}a_j\lambda^{j+1},\\ &E_{\tilde{B}}=-1+\sum_{j=1}^{\mu_1}b_j\lambda^j \end{align}

ここで $\{a_i\},\{b_i\}$ の定義は

\begin{align} \sum_{j=1}^{\mu_0}a_j(\lambda_{k_i})^j=1,\ \sum_{j=1}^{\mu_1}b_j(\lambda_{l_i})^j=1 \end{align}

でしたね。したがって

\begin{align} &E_{\tilde{A}}=a_{\mu_0}\lambda(\lambda-\lambda_{k_1})\cdots(\lambda-\lambda_{k_{\mu_0}}),\\ &E_{\tilde{B}}=b_{\mu_1}(\lambda-\lambda_{l_1})\cdots(\lambda-\lambda_{l_{\mu_1}}) \end{align}

が成立します。これを左辺に代入すると

\begin{align} &\sum_{i=0}^{\infty}m_i^-a_{\mu_0}\lambda_i(\lambda_i-\lambda_{k_1})\cdots(\lambda_i-\lambda_{k_{\mu_0}})f_i=\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{\mu_1}\dfrac{\sigma_{n-1}}{N_{l_i}}c_{l_i}E_{\tilde{A}}(\lambda_{l_i})f_{l_i}+\sum_{i=0}^{\infty}\alpha_iE_A(\lambda_i)f_i,\\ &\sum_{i=0}^{\infty}m_i^+b_{\mu_1}(\lambda_i-\lambda_{l_1})\cdots(\lambda_i-\lambda_{l_{\mu_1}})f_i=\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{\mu_0}\dfrac{\sigma_{n-1}}{N_{k_i}}c_{k_i}E_{\tilde{B}}(\lambda_{k_i})f_{k_i}+\sum_{i=0}^{\infty}\beta_iE_B(\lambda_i)f_i \end{align}

前者の式に関して、左辺の奇数次の球面調和関数 $m_i^-f_i$ の係数は零ではない故に、右辺との係数比較で奇数次の $m_i^-$ を求めることができます。後者の式も同様に、左辺の偶数次の球面調和関数 $m_i^+f_i$ の係数は零ではない故に、右辺との係数比較で偶数次の $m_i^+$ を求めることができます。

$\mathscr{K}_Kf=\mathscr{K}_K^-f+\mathscr{K}_K^+f$ なので $\mathscr{K}_Kf$ に関しても分かったことになります。直接的に半球面一般コサイン変換の因子を計算するよりも簡単な計算になっていると思います。今回はここまで。(written by J.Nishigata)

研究75- 半球面一般コサイン変換の反転公式