前回は、半球面一般コサイン変換に球面ラプラシアンの冪級数を掛けて剰余項を消去しました。

\begin{align} &\tilde{A}\mathscr{K}_K^-f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}\bigg(-L+\sum_{j=1}^{\mu_0}a_jL^{j+1}\bigg)K_1f\omega+A\int_{\partial S_y}\partial_yf\omega^y,\\ &\tilde{B}\mathscr{K}_K^+f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}\bigg(-1+\sum_{j=1}^{\mu_1}b_jL^j\bigg)K_0f\omega+B\int_{\partial S_y}f\omega^y \end{align}

両方の式共に右辺の第 $1$ 項が邪魔ですね。この項はファンク-ヘッケの定理を使えば簡単に計算できます。まず、演算子の掛かっていない

\begin{align} \int_{S^{n-1}}K_1f\omega \end{align}

にファンク-ヘッケの定理を使いましょう。$j$ 次の球面調和関数に掛かる因子は

\begin{align} &\sigma_{n-2}\int_{-1}^1(1-t^2)^{(n-3)/2}K_1P_j\,dt\\ &=\sigma_{n-2}\int_{-1}^1(1-t^2)^{(n-3)/2}\sum_{i=1}^{\mu_1}c_{l_i}P_{l_i}P_j\,dt\\ &=\sum_{i=1}^{\mu_1}\dfrac{\sigma_{n-1}}{N_{l_i}}c_{l_i}\delta_{l_ij} \end{align}

ですので直交分解された $f$ の像は

\begin{align} \int_{S^{n-1}}K_1f\omega=\sum_{i=1}^{\mu_1}\dfrac{\sigma_{n-1}}{N_{l_i}}c_{l_i}f_{l_i} \end{align}

となります。これに球面ラプラシアンを掛けると

\begin{align} \int_{S^{n-1}}L^jK_1f\omega=(\Delta^S)^j\int_{S^{n-1}}K_1f\omega=\sum_{i=1}^{\mu_1}\dfrac{\sigma_{n-1}}{N_{l_i}}c_{l_i}(\lambda_{l_i})^jf_{l_i} \end{align}

したがって

\begin{align} &\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}\bigg(-L+\sum_{j=1}^{\mu_0}a_jL^{j+1}\bigg)K_1f\omega\\ &=-\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{\mu_1}\dfrac{\sigma_{n-1}}{N_{l_i}}c_{l_i}\lambda_{l_i}f_{l_i}+\dfrac{1}{2}\sum_{j=1}^{\mu_0}\sum_{i=1}^{\mu_1}a_j\dfrac{\sigma_{n-1}}{N_{l_i}}c_{l_i}(\lambda_{l_i})^{j+1}f_{l_i}\\ &=\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{\mu_1}\dfrac{\sigma_{n-1}}{N_{l_i}}c_{l_i}E_{\tilde{A}}(\lambda_{l_i})f_{l_i} \end{align}

もう一方も同様にして

\begin{align} \dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}\bigg(-1+\sum_{j=1}^{\mu_1}b_jL^j\bigg)K_0f\omega=\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{\mu_0}\dfrac{\sigma_{n-1}}{N_{k_i}}c_{k_i}E_{\tilde{B}}(\lambda_{k_i})f_{k_i} \end{align}

今回はここまで。次回は半球面一般コサイン変換の反転公式を考えます。(written by J.Nishigata)

研究74- 球面全体に渡る積分値とファンク-ヘッケの定理