前回は $1$ 階の球面ラプラシアンのみ計算しました。$2$ 階以上の計算はどうなるでしょうか。取り合えず $2$ 階の場合を計算すると

\begin{align} &(\Delta^S)^2\mathscr{K}_K^+f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}L^2K_0f\omega+\{\partial K(0)\Delta^S+\partial LK_1(0)\}\int_{\partial S_y}f\omega^y+\mathscr{K}_{L^2K_1}^+f,\\ &(\Delta^S)^2\mathscr{K}_K^-f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}L^2K_1f\omega-\{K(0)\Delta^S+LK_0(0)\}\int_{\partial S_y}\partial_yf\omega^y+\mathscr{K}_{L^2K_0}^-f \end{align}

ここで $\partial LK_1(0)=\partial LK(0),LK_0(0)=LK(0)$ なので、置き換えると

\begin{align} &(\Delta^S)^2\mathscr{K}_K^+f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}L^2K_0f\omega+\{\partial K(0)\Delta^S+\partial LK(0)\}\int_{\partial S_y}f\omega^y+\mathscr{K}_{L^2K_1}^+f,\\ &(\Delta^S)^2\mathscr{K}_K^-f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}L^2K_1f\omega-\{K(0)\Delta^S+LK(0)\}\int_{\partial S_y}\partial_yf\omega^y+\mathscr{K}_{L^2K_0}^-f \end{align}

これを参考に一般化すると

\begin{align} &(\Delta^S)^j\mathscr{K}_K^+f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}L^jK_0f\omega+\sum_{i=1}^j\partial L^{i-1}K(0)(\Delta^S)^{j-i}\int_{\partial S_y}f\omega^y+\mathscr{K}_{L^jK_1}^+f,\\ &(\Delta^S)^j\mathscr{K}_K^-f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}L^jK_1f\omega-\sum_{i=1}^jL^{i-1}K(0)(\Delta^S)^{j-i}\int_{\partial S_y}\partial_yf\omega^y+\mathscr{K}_{L^jK_0}^-f \end{align}

となりますね。ここで以前やったルジャンドル作用素の冪級数による積分核の表現を思い出しましょう。

\begin{align} &K_0=c_0+\sum_{j=1}^{\mu_0}a_jL^jK_0,\\ &K_1=\sum_{j=1}^{\mu_1}b_jL^jK_1 \end{align}

これを使えば剰余項がどうにかできそうですね。

\begin{align} &\sum_{j=1}^{\mu_1}b_j(\Delta^S)^j\mathscr{K}_K^+f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}\sum_{j=1}^{\mu_1}b_jL^jK_0f\omega+\sum_{j=1,i\le j}^{\mu_1}b_j\partial L^{i-1}K(0)(\Delta^S)^{j-i}\int_{\partial S_y}f\omega^y+\mathscr{K}_{K_1}^+f,\\ &\sum_{j=1}^{\mu_0}a_j(\Delta^S)^j\mathscr{K}_K^-f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}\sum_{j=1}^{\mu_0}a_jL^jK_1f\omega-\sum_{j=1,i\le j}^{\mu_0}a_jL^{i-1}K(0)(\Delta^S)^{j-i}\int_{\partial S_y}\partial_yf\omega^y+\mathscr{K}_{K_0-c_0}^-f \end{align}

前者は $K_1=K-K_0$ を右辺の最後の項に使うことで

\begin{align} \bigg(-1+\sum_{j=1}^{\mu_1}b_j(\Delta^S)^j\bigg)\mathscr{K}_K^+f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}\bigg(-1+\sum_{j=1}^{\mu_1}b_jL^j\bigg)K_0f\omega+\sum_{j=1,i\le j}^{\mu_1}b_j\partial L^{i-1}K(0)(\Delta^S)^{j-i}\int_{\partial S_y}f\omega^y \end{align}

一方、後者は $K_0=K-K_1$ を右辺の最後の項に使って、全体の球面ラプラシアンを計算することで

\begin{align} \bigg(-\Delta^S+\sum_{j=1}^{\mu_0}a_j(\Delta^S)^{j+1}\bigg)\mathscr{K}_K^-f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}\bigg(-L+\sum_{j=1}^{\mu_0}a_jL^{j+1}\bigg)K_1f\omega-\bigg(-c_0+\sum_{j=1,i\le j}^{\mu_0}a_jL^{i-1}K(0)(\Delta^S)^{j-i+1}\bigg)\int_{\partial S_y}\partial_yf\omega^y \end{align}

これで剰余項が消えました。式を見やすくするために演算子をまとめて

\begin{align} &\tilde{A}=-\Delta^S+\sum_{j=1}^{\mu_0}a_j(\Delta^S)^{j+1},\\ &A=c_0-\sum_{j=1,i\le j}^{\mu_0}a_jL^{i-1}K(0)(\Delta^S)^{j-i+1},\\ &\tilde{B}=-1+\sum_{j=1}^{\mu_1}b_j(\Delta^S)^j,\\ &B=\sum_{j=1,i\le j}^{\mu_1}b_j\partial L^{i-1}K(0)(\Delta^S)^{j-i} \end{align}

とおくと

\begin{align} &\tilde{A}\mathscr{K}_K^-f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}\bigg(-L+\sum_{j=1}^{\mu_0}a_jL^{j+1}\bigg)K_1f\omega+A\int_{\partial S_y}\partial_yf\omega^y,\\ &\tilde{B}\mathscr{K}_K^+f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}\bigg(-1+\sum_{j=1}^{\mu_1}b_jL^j\bigg)K_0f\omega+B\int_{\partial S_y}f\omega^y \end{align}

となります。今回はここまで。次回は右辺の第 $1$ 項の計算をやります。(written by J.Nishigata)

研究73- 球面ラプラシアンの冪級数による剰余項の処理