今回の積分変換は、ラドン変換を少し改造したものになります。ラドン変換では

\begin{align} \Omega=\{x\in\mathbb{R}^n:x^1=\dots=x^m=0\} \end{align}

としましたが、今回は

\begin{align} \Omega=\{x\in\mathbb{R}^n:x^1=\dots=x^m=0,\|x\|\le 1\} \end{align}

という $n-m$ 次元球体を定義して

\begin{align} \mathscr{R}f(g)=\int_{\Omega}f(gx)\,dx^{m+1}\wedge\dots\wedge x^n \end{align}

このように積分変換を定義します。$\partial\Omega$ の元 $p$ と $\{x\in\mathbb{R}^n:x^1=\dots=x^m=0\}$ の直交空間上の単位ベクトル $q$ をとっておきます。まず、 $\mathscr{R}f(g)$ を $gp$ 方向へ微分してみます。

\begin{align} \partial_p(g^{-1}\mathscr{R}f)(1)=\int_{\Omega}\partial_p(g^{-1}f)\,dx^{m+1}\wedge\dots\wedge x^n \end{align}

ここで

\begin{align} \xi^p=\sum_{i=m+1}^n(-1)^{i-m-1}p^i\,dx^{m+1}\wedge\cdots\hat{i}\cdots\wedge dx^n \end{align}

とおくと $d(g^{-1}f\xi^p)=\partial_p(g^{-1}f)\,dx^{m+1}\wedge\dots\wedge x^n$ が成立するので

\begin{align} \partial_p(g^{-1}\mathscr{R}f)(1)=\int_{\partial\Omega}g^{-1}f\xi^p \end{align}

更に $\partial\Omega$ の体積形式

\begin{align} \omega=\sum_{i=m+1}^n(-1)^{i-m-1}x^i\,dx^{m+1}\wedge\cdots\hat{i}\cdots\wedge dx^n \end{align}

を定義すると $\xi^p=\langle p,x\rangle\omega$ となるので

\begin{align} \partial_p(g^{-1}\mathscr{R}f)(1)=\int_{\partial\Omega}\langle p,x\rangle g^{-1}f\omega \end{align}

$\partial_{e_i}(g^{-1}\mathscr{R}f)(1)$ を更に $\partial_{qe_i},i=m+1,\dots,n$ で微分してみます。

\begin{align} \partial_{qe_i}\partial_{e_i}(g^{-1}\mathscr{R}f)(1)=-\int_{\partial\Omega}\langle e_i,x\rangle^2 \partial_q(g^{-1}f)\omega \end{align}

$i$ に関する総和をとれば簡単な式になりますね。

\begin{align} \sum_{i=m+1}^n\partial_{qe_i}\partial_{e_i}(g^{-1}\mathscr{R}f)(1)=-\int_{\partial\Omega}\partial_q(g^{-1}f)\omega \end{align}

この式に見覚えはありますでしょうか。右辺はファンク変換のラプラシアンで出てきた式です。続いて $\partial_p(g^{-1}\mathscr{R}f)(1)$ を $q$ 方向へ微分してみます。

\begin{align} \partial_q\partial_p(g^{-1}\mathscr{R}f)(1)=\int_{\partial\Omega}\langle p,x\rangle \partial_q(g^{-1}f)\omega \end{align}

こちらは半球面コサイン変換で出てきた式です。$2$ つの式から $\partial\Omega$ 上で $g^{-1}f$ が計算できるとしたいところですが、後者の式で逆ヒルベルト変換を実行するとき、定数分の不定性があり $\partial\Omega$ 上での $g^{-1}f$ の積分値が必要でした。したがって、一旦

\begin{align} \mathscr{K}f_0(g)=\int_{\partial\Omega}f_0(gx)\omega \end{align}

に初期条件

\begin{align} \int_{\partial\Omega}f_0\omega=0 \end{align}

を与えて、

\begin{align} &\partial_q(g^{-1}\mathscr{K}f_0)(1)=-\sum_{i=m+1}^n\partial_{qe_i}\partial_{e_i}(g^{-1}\mathscr{R}f)(1),\\ &\partial_{qp}(g^{-1}\mathscr{K}f_0)(1)=-\partial_q\partial_p(g^{-1}\mathscr{R}f)(1) \end{align}

を $\mathscr{K}f_0(g)$ に関して解きます。これで不定性無く逆ヒルベルト変換が使えて $f_0$ が求まります。最後に勝手に決めた初期条件を修正すれば良いでしょう。

\begin{align} \mathscr{R}(f_0+c)(1)=\mathscr{R}f(1) \end{align}

を解くことにより定数 $c$ を求めます。$f=f_0+c$ が解ですね。今回はここまで。(written by J.Nishigata)

研究64- 円板定義関数の族と積分変換