今回は球面上の話をします。球面上の積分変換というと、以前ファンク-ヘッケの定理をやったことが思い出されますね。ファンク-ヘッケの定理は $S^2$ で説明したときと全く同じ方法で $S^{n-1}$ に拡張できます。(球面調和関数空間の議論からやり直してみてください。)

球面上の関数 $f:S^{n-1}\to\mathbb{R}$ の直交分解を $f=\sum f_k$ とおくと

\begin{align} \mathscr{K}f(y)=\int_{S^{n-1}}K(\langle x,y\rangle)f(x)\omega,\ y\in S^{n-1} \end{align}

による像は

\begin{align} \mathscr{K}f(y)=\sum_{k=0}^{\infty}m_kf_k(y) \end{align}

となります。ここに、ファンク-ヘッケの因子 $m_k$ は

\begin{align} m_k=\sigma_{n-2}\int_{-1}^1(1-t^2)^{(n-3)/2}K(t)P_k(t)\,dt \end{align}

で与えられます。$\sigma_{n-2}$ は $S^{n-2}$ の測度、$P_k$ はルジャンドル多項式です。これがファンク-ヘッケの定理でした。各球面調和関数成分が $m_k$ 倍されるので、反転公式は逆に $m_k$ で割ればよいことが分かります。

$m_k$ の計算に当たり、ロドリゲスの公式が必要になります。この公式は以前ルジャンドル多項式の直交性証明の際、別解として使えると書いたままで証明はまだやっていませんでしたね。今回はロドリゲスの公式を証明してみましょう。

\begin{align} P_k=\dfrac{\Gamma((n-1)/2)}{(-1)^k2^k\Gamma(k+(n-1)/2)}(1-t^2)^{-(n-3)/2}\partial^k(1-t^2)^{k+(n-3)/2} \end{align}

これがロドリゲスの公式です。まず

\begin{align} p^{(j)}=(1-t^2)^{-(n-3)/2}\partial^j(1-t^2)^{k+(n-3)/2} \end{align}

のようにパラメトライズされた関数を考えます。方針は $j$ に関して帰納的に計算していき、$j=k$ のときの主張に繋げることを目指します。最初の方の $3$ 項 $p^{(0)},p^{(1)},p^{(2)}$ は簡単に計算できますね。

\begin{align} &p^{(0)}=(1-t^2)^k,\\ &p^{(1)}=-(2k+n-3)t(1-t^2)^{k-1},\\ &p^{(2)}=-(2k+n-3)(1-t^2)^{k-1}+(2k+n-3)(2k+n-5)t^2(1-t^2)^{k-2} \end{align}

この $3$ 項は次の方程式を満たします。

\begin{align} (1-t^2)p^{(2)}+(2k+n-5)tp^{(1)}+(2k+n-3)p^{(0)}=0 \end{align}

漸化式を作ることができそうですね。幾つか実験をやってみてほしいのですが、結果だけを書くと

\begin{align} (1-t^2)p^{(j+2)}+(2k+n-2j-5)tp^{(j+1)}+(j+1)(2k+n-j-3)p^{(j)}=0 \end{align}

が成立するのではないかという仮説が立ちます。証明には帰納法を使います。仮説の式を微分して、$\partial p^{(\cdot)}$ を

\begin{align} \partial p^{(j)}=(n-3)\dfrac{t}{1-t^2}p^{(j)}+p^{(j+1)} \end{align}

を用いて書き換えると $j=j+1$ のときの仮説の式が得られます。これで帰納的に仮説が正しいことが分かります。$j=k$ のときの式を書いてみましょう。

\begin{align} (1-t^2)p^{(k+2)}+(n-5)tp^{(k+1)}+(k+1)(k+n-3)p^{(k)}=0 \end{align}

$p^{(k)}$ と $p^{(k+1)}$ の間の関係式は

\begin{align} p^{(k+1)}=\partial p^{(k)}-(n-3)\dfrac{t}{1-t^2}p^{(k)} \end{align}

でした。これを使って $p^{(k)}$ と $p^{(k+2)}$ の間の関係式を作ると

\begin{align} p^{(k+2)}=\partial^2p^{(k)}-2(n-3)\dfrac{t}{1-t^2}\partial p^{(k)}+\dfrac{n-3}{1-t^2}\bigg(\dfrac{(n-5)t^2}{1-t^2}-1\bigg)p^{(k)} \end{align}

となります。これらを $j=k$ のときの式に代入して整理すると

\begin{align} &Lp^{(k)}=\lambda_kp^{(k)},\\ &L=(1-t^2)\partial^2-(n-1)t\partial \end{align}

すなわち $p^{(k)}$ が $k$ 次のルジャンドル多項式であることが導かれます。

\begin{align} P_k(t)=\dfrac{p^{(k)}(t)}{p^{(k)}(1)} \end{align}

最後に $p^{(k)}(1)$ を求めればロドリゲスの公式の証明は完了します。普通に計算すれば良いです。

\begin{align} p^{(k)}(1)&=(-2)^k\bigg(k+\dfrac{n-3}{2}\bigg)\cdots\bigg(1+\dfrac{n-3}{2}\bigg)\\ &=(-2)^k\dfrac{\Gamma(k+(n-1)/2)}{\Gamma((n-1)/2)} \end{align}

今回はここまで。次回はロドリゲスの公式を使ってファンク-ヘッケの因子を計算してみます。(written by J.Nishigata)

研究57- ロドリゲスの公式