今回から、ヒルベルト変換の応用例を紹介していきます。第 $1$ 回目は X-線変換の話をします。

X-線変換は、簡単に説明すると X-線 CT の原理となっている観測方法です。弧長表示されている直線 $l$ に対して

\begin{align} \mathscr{X}f(l)=\int_{\mathbb{R}}f(l(s))\,ds \end{align}

を $f$ の X-線変換と呼びます。直線に沿って $f$ を積分するということは、CT の世界では、どのくらいの X-線を吸収したのかという意味になるわけです。X-線 CT では、観測された X-線変換の像から $f$ を逆算する、すなわち反転公式が使われています。

良く知られた反転公式は投影定理を利用したものです。平面上の直線全体を

\begin{align} l(\theta,h)(s)=se(\theta+\pi/2)+he(\theta) \end{align}

のようにパラメトライズしておきます。X-線変換を

\begin{align} \mathscr{X}f(\theta,h)=\int_{\mathbb{R}}f(se(\theta+\pi/2)+he(\theta))\,ds \end{align}

と定義して $h$ に関するフーリエ変換を実行すると

\begin{align} \mathscr{F}_h\mathscr{X}f(\theta,u)=\int_{\mathbb{R}^2}f(se(\theta+\pi/2)+he(\theta))e^{-2\pi ihu}\,ds\,dh \end{align}

となります。ここで $(x,y)=se(\theta+\pi/2)+he(\theta)$ で変数変換すると

\begin{align} \mathscr{F}_h\mathscr{X}f(\theta,u)=\int_{\mathbb{R}^2}f(x,y)e^{-2\pi i(x\cos\theta+y\sin\theta)u}\,ds\,dh \end{align}

右辺は $f$ の $2$ 次元フーリエ変換なので

\begin{align} \mathscr{F}_h\mathscr{X}f(\theta,u)=\mathscr{F}f(u\cos\theta,u\sin\theta) \end{align}

と書くことができます。$f$ のフーリエ像が計算できたので、逆フーリエ変換すれば $f$ が求まります。以上が、良く知られた方法です。続いてヒルベルト変換を用いた別解を考えましょう。まず直線のパラメトライズを

\begin{align} l(t,u,v)(s)=(s-t)e(u-\pi/2)+ve(u)+(x_0,y_0) \end{align}

としておきます。これに合わせて X-線変換を

\begin{align} \mathscr{X}f(t,u,v)=\int_{\mathbb{R}}f((s-t)e(u-\pi/2)+ve(u)+(x_0,y_0))\,ds \end{align}

と定義しましょう。$v$ 方向への微分を考えると

\begin{align} \partial_v\mathscr{X}f(t,u,0)&=\int_{\mathbb{R}}\partial_{e(u)}f((s-t)e(u-\pi/2)+(x_0,y_0))\,ds\\ &=\int_{\mathbb{R}}\dfrac{1}{s-t}\partial_uf((s-t)e(u-\pi/2)+(x_0,y_0))\,ds \end{align}

右辺にヒルベルト変換が出てきました。後はヒルベルト像に関して解き、逆ヒルベルト変換を掛ければ $f$ が求まります。この計算は以前何回も取り上げたので省略します。今回はここまで。次回も引き続き応用例を紹介します。(written by J.Nishigata)

研究55- X-線変換