前々回の続きです。今得られている式は、環状項が消えない式

\begin{align} a_1\langle 1\rangle_k=\psi+\langle b_1\rangle_k,\ a_2\langle 1\rangle_k=r\partial_r\psi+\langle b_2\rangle_k \end{align}

そして剰余項を生成する式

\begin{align} c_i\langle 1\rangle_k=\langle d_i\rangle_k,\ c_i\in G \end{align}

です。ここで

\begin{align} b_1+\sum_{i=0}^{\infty}\alpha_id_i=0,\ b_2+\sum_{i=0}^{\infty}\beta_id_i=0 \end{align}

を満足する数列 $\{\alpha_i\},\{\beta_i\}$ が存在するならば

\begin{align} \bigg(a_1+\sum_{i=0}^{\infty}\alpha_ic_i\bigg)\langle 1\rangle_k=\psi,\ \bigg(a_2+\sum_{i=0}^{\infty}\beta_ic_i\bigg)\langle 1\rangle_k=r\partial_r\psi \end{align}

以上により畳込み像 $\langle 1\rangle_k$ から環状項 $\psi,r\partial_r\psi$ を計算することができました。数列の存在命題に関しては前回同様に別の機会に考えたいと思います。

今回はここまで。次回は級数部分の評価方法を考えることによって、今回の主張を少し弱めたいと思います。(written by J.Nishigata)

研究19- 剰余項の級数