PSF の式を思い出しましょう。$g(p,q)=u_0(\lambda f_0p,\lambda f_0q)$ とおいて今回のような対称な開口の場合は

\begin{align} \mathrm{PSF}=\dfrac{\big|\mathscr{F}^{-1}g\big|^2}{\|g\|_2^2} \end{align}

でしたね。簡単な例として、$D$ が対角線の長さ $d_0$ の正方形の場合、直径 $d_0$ の円板の場合の $2$ 通りの計算をしてみましょう。

\begin{align} \mathscr{F}^{-1}g&=\int_{-d_0/(2\sqrt{2}\lambda f_0)}^{d_0/(2\sqrt{2}\lambda f_0)}e^{2\pi iPp}\,dp\int_{-d_0/(2\sqrt{2}\lambda f_0)}^{d_0/(2\sqrt{2}\lambda f_0)}e^{2\pi iQq}\,dq\\ &=\dfrac{\sin(\pi d_0P/(\sqrt{2}\lambda f_0))}{\pi P}\dfrac{\sin(\pi d_0Q/(\sqrt{2}\lambda f_0))}{\pi Q}\\ &=\dfrac{d_0^2}{2(\lambda f_0)^2}\dfrac{\sin(\pi d_0P/(\sqrt{2}\lambda f_0))}{\pi d_0P/(\sqrt{2}\lambda f_0)}\dfrac{\sin(\pi d_0Q/(\sqrt{2}\lambda f_0))}{\pi d_0Q/(\sqrt{2}\lambda f_0)} \end{align}

正方形の場合は $g$ の逆フーリエ像は $\mathrm{sinc}$ 関数の積になります。したがって PSF は

\begin{align} \dfrac{d_0^2}{2(\lambda f_0)^2}\mathrm{sinc}^2(\pi d_0P/(\sqrt{2}\lambda f_0))\mathrm{sinc}^2(\pi d_0Q/(\sqrt{2}\lambda f_0)) \end{align}

となります。続いて円板の場合を計算してみましょう。$R=\sqrt{P^2+Q^2}$ とおいて

\begin{align} \mathscr{F}^{-1}g&=2\pi\int_0^{d_0/(2\lambda f_0)}rJ_0(2\pi rR)\,dr\\ &=\dfrac{1}{2\pi R^2}\int_0^{\pi Rd_0/(\lambda f_0)}rJ_0(r)\,dr \end{align}

以前求めたベッセル関数の導関数の関係式を使うと

\begin{align} \mathscr{F}^{-1}g&=\dfrac{1}{2\pi R^2}\dfrac{\pi Rd_0}{\lambda f_0}J_1(\pi Rd_0/(\lambda f_0))\\ &=\dfrac{\pi d_0^2}{2(\lambda f_0)^2}\dfrac{\lambda f_0}{\pi R d_0}J_1(\pi Rd_0/(\lambda f_0)) \end{align}

したがって PSF は

\begin{align} \dfrac{\pi d_0^2}{(\lambda f_0)^2}\bigg\{\dfrac{\lambda f_0}{\pi R d_0}J_1(\pi Rd_0/(\lambda f_0))\bigg\}^2 \end{align}

となります。この PSF にはエアリーパターンという名前が付いています。理論的なコンデンサレンズの PSF ですので、あらゆる場面に登場します。

最後に、求めた $2$ つの PSF を比較してみましょう。簡単にするために $\pi d_0/(\lambda f_0)=1$ とおきます。すると正方形開口の PSF は

\begin{align} \dfrac{1}{2\pi^2}\mathrm{sinc}^2(P/\sqrt{2})\mathrm{sinc}^2(Q/\sqrt{2}) \end{align}

一方円形開口の PSF は

\begin{align} \dfrac{1}{\pi}\bigg\{\dfrac{J_1(R)}{R}\bigg\}^2 \end{align}

となります。グラフを描画すれば両者の違いが明確になるでしょう。是非試してみて PSF の雰囲気を知りましょう。今回はここまで。次回は PSF の広がり具合を定量化します。(written by J.Nishigata)

光・波動34- 正方形開口と円形開口の PSF