$2$ 次元のフーリエ変換を書いてみましょう。

\begin{align} \mathscr{F}f(y)=\int_{\mathbb{R}^2}f(x)e^{-2\pi i\langle x,y\rangle}\,dS \end{align}

今回考えたいのは、回転対称な関数 $f$ のフーリエ変換です。$f$ のラディアル関数を $\tilde{f}$ とおいてフーリエ変換を極座標で書き換えてみましょう。

\begin{align} \mathscr{F}f(y)&=\int_0^{\infty}r\tilde{f}(r)\bigg\{\int_{-\pi}^{\pi} e^{-2\pi ir(y^1\cos\theta+y^2\sin\theta)}\,d\theta\bigg\}\,dr\\ &=\int_0^{\infty}r\tilde{f}(r)\bigg\{\int_{-\pi}^{\pi} e^{2\pi ir\|y\|\cos\theta}\,d\theta\bigg\}\,dr \end{align}

右辺にベッセル関数の積分表示を使います。

\begin{align} J_0(x)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{ix\cos\theta}\,d\theta \end{align}

これを使います。

\begin{align} \mathscr{F}f(y)=2\pi\int_0^{\infty}r\tilde{f}(r)J_0(2\pi r\|y\|)\,dr \end{align}

積分が $1$ つ消えましたね。この右辺に現れる変換

\begin{align} \mathscr{H}\tilde{f}(R)=\int_0^{\infty}r\tilde{f}(r)J_0(rR)\,dr \end{align}

をハンケル変換と呼びます。改めてフーリエ変換をハンケル変換で書くと

\begin{align} \mathscr{F}f(y)=2\pi\mathscr{H}\tilde{f}(2\pi \|y\|) \end{align}

となります。今回はここまで。準備が整ったので、次回は簡単な開口関数の PSF を計算しましょう。(written by J.Nishigata)

光・波動33- フーリエ変換とハンケル変換