前回、ベッセル関数を生成する母関数を求めました。

\begin{align} e^{-x/(2z)}e^{xz/2}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}J_k(x)z^k \end{align}

今回もこれを使って考えます。まず両辺を $x$ で微分してみましょう。

\begin{align} -\dfrac{1}{2z}e^{-x/(2z)}e^{xz/2}+\dfrac{z}{2}e^{-x/(2z)}e^{xz/2}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\partial J_k(x)z^k \end{align}

左辺を級数展開して $z^k$ の係数を比較すると

\begin{align} -\dfrac{1}{2}J_{k+1}+\dfrac{1}{2}J_{k-1}=\partial J_k \end{align}

同様に $z$ に関して微分して

\begin{align} \dfrac{x}{2z^2}e^{-x/(2z)}e^{xz/2}+\dfrac{x}{2}e^{-x/(2z)}e^{xz/2}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}kJ_k(x)z^{k-1} \end{align}

左辺を級数展開して $z^{k-1}$ の係数を比較すると

\begin{align} \dfrac{x}{2}J_{k+1}+\dfrac{x}{2}J_{k-1}=kJ_k \end{align}

$2$ 本の漸化式が得られました。前者を $x$ 倍して和と差を計算すると

\begin{align} &xJ_{k-1}=x\partial J_k+kJ_k,\\ &-xJ_{k+1}=x\partial J_k-kJ_k \end{align}

という式へ書き換えられます。前者に $x^{k-1}$ を掛けると

\begin{align} x^kJ_{k-1}=x^k\partial J_k+kx^{k-1}J_k=\partial(x^kJ_k) \end{align}

後者に $x^{-k-1}$ を掛けると

\begin{align} -x^{-k}J_{k+1}=x^{-k}\partial J_k-kx^{-k-1}J_k=\partial(x^{-k}J_k) \end{align}

今回はここまで。次回はベッセル関数の積分表示を用いてハンケル変換を定義します。(written by J.Nishigata)

光・波動32- ベッセル関数の導関数と次数の関係