以前ベッセル関数を定義したときは、ベッセル方程式を使いました。ベッセル関数の性質を調べる場合、ベッセル方程式を式変形に用いることは困難であることが多いです。

数列の性質を調べる代表的な方法に、母関数というものがあります。

\begin{align} \sum_{k=-\infty}^{\infty}J_k(x)z^k \end{align}

まずはこの級数を計算してみましょう。(収束に関する議論は省略しますが、気になる方は調べてみてください)

\begin{align} \sum_{k=-\infty}^{\infty}J_k(x)z^k&=\sum_{k=0}^{\infty}J_k(x)z^k+\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^kJ_k(x)z^{-k}\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^m}{m!(m+k)!}\bigg(\dfrac{x}{2}\bigg)^{2m+k}z^k\\ &\quad +\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^{m+k}}{m!(m+k)!}\bigg(\dfrac{x}{2}\bigg)^{2m+k}z^{-k}\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{1}{m!(m+k)!}\bigg(-\dfrac{x}{2z}\bigg)^m\bigg(\dfrac{xz}{2}\bigg)^{m+k}\\ &\quad +\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{1}{m!(m+k)!}\bigg(-\dfrac{x}{2z}\bigg)^{m+k}\bigg(\dfrac{xz}{2}\bigg)^m\\ &=\sum_{m\le k}\dfrac{1}{m!k!}\bigg(-\dfrac{x}{2z}\bigg)^m\bigg(\dfrac{xz}{2}\bigg)^k+\sum_{m>k}\dfrac{1}{m!k!}\bigg(-\dfrac{x}{2z}\bigg)^m\bigg(\dfrac{xz}{2}\bigg)^k\\ &=e^{-x/(2z)}e^{xz/2} \end{align}

非常にシンプルな母関数になりました。母関数から各係数を選択的に抽出するには留数定理を使います。例えば $J_k$ を取り出すためには $z^{-k-1}$ を掛けて特異点 $z=0$ の周りで複素積分すれば良いです。

\begin{align} J_k(x)&=\dfrac{1}{2\pi i}\oint_{|z|=1} e^{-x/(2z)}e^{xz/2}z^{-k-1}\,dz\\ &=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-xe^{-i\theta}/2}e^{xe^{i\theta}/2}e^{-ik\theta}\,d\theta\\ &=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{i(x\sin\theta-k\theta)}\,d\theta\\ &=\dfrac{(-i)^k}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{i(x\cos\theta-k\theta)}\,d\theta \end{align}

今回はここまで。次回はベッセル関数の導関数に関して調べていきます。(written by J.Nishigata)

光・波動31- ベッセル関数の積分表示