前回、球面波を求めました。今回はこれを使ってキルヒホッフの積分定理を説明します。

定常状態の波動方程式

\begin{align} \Delta f=-\dfrac{\omega^2}{c^2}f \end{align}

の任意の $2$ つの解を $u,v$ とおきます。すると当然ですが $u\Delta v-v\Delta u=0$ が成立しますね。任意の連結領域 $\Omega$ に対して

\begin{align} \int_{\Omega}(u\Delta v-v\Delta u)\,dV=0 \end{align}

この式は球面調和関数空間の直交性の証明でも登場しました。$\Omega$ の内部に $u\Delta v-v\Delta u$ が特異点をもたないならば、ストークスの公式より

\begin{align} \int_{\Omega}(u\Delta v-v\Delta u)\,dV=\int_{\partial\Omega}(u\partial_nv-v\partial_nu)\,dS \end{align}

が成立します。ここでクーロンの法則のときと同じようなことをやります。$\Omega$ の内部の任意の点 $X$ を中心とする球面波を $v$ に代入すると $u\Delta v-v\Delta u$ は $x=X$ が特異点となってしまうため $X$ の近傍 $U_{\varepsilon}(X)$ を除外する必要があります。

\begin{align} \int_{\Omega\setminus U_{\varepsilon}(X)}(u\Delta v-v\Delta u)\,dV=0 \end{align}

このようにするとストークスの公式が使えて

\begin{align} \int_{\partial\Omega\cup \partial U_{\varepsilon}(X)}(u\partial_nv-v\partial_nu)\,dS=0 \end{align}

境界 $\partial\Omega$ と $\partial U_{\varepsilon}(x)$ を分離して移項すると

\begin{align} \int_{\partial\Omega}(u\partial_nv-v\partial_nu)\,dS=-\int_{\partial U_{\varepsilon}(X)}(u\partial_nv-v\partial_nu)\,dS \end{align}

右辺に球面波を代入して計算してみましょう。

\begin{align} v=\dfrac{e^{\pm i\omega \varepsilon/c}}{\varepsilon},\ \partial_nv=-\bigg(-\dfrac{1}{\varepsilon}\pm\dfrac{i\omega}{c}\bigg)\dfrac{e^{\pm i\omega\varepsilon/c}}{\varepsilon} \end{align}

を代入すれば

\begin{align} &\int_{\partial U_{\varepsilon}(X)}\bigg\{u\bigg(-\dfrac{1}{\varepsilon}\pm\dfrac{i\omega}{c}\bigg)\dfrac{e^{\pm i\omega\varepsilon/c}}{\varepsilon}+\dfrac{e^{\pm i\omega \varepsilon/c}}{\varepsilon}\partial_nu\bigg\}\,dS\\ &=\bigg(-\dfrac{1}{\varepsilon}\pm\dfrac{i\omega}{c}\bigg)\dfrac{e^{\pm i\omega\varepsilon/c}}{\varepsilon}\int_{\partial U_{\varepsilon}(X)}u\,dS+\dfrac{e^{\pm i\omega \varepsilon/c}}{\varepsilon}\int_{\partial U_{\varepsilon}(X)}\langle \nabla u,n\rangle\,dS\\ &=\bigg(-\dfrac{1}{\varepsilon}\pm\dfrac{i\omega}{c}\bigg)\dfrac{e^{\pm i\omega\varepsilon/c}}{\varepsilon}\int_{\partial U_{\varepsilon}(X)}u\,dS+\dfrac{e^{\pm i\omega \varepsilon/c}}{\varepsilon}\int_{U_{\varepsilon}(X)}\Delta u\,dV\\ &=\bigg(-\dfrac{1}{\varepsilon}\pm\dfrac{i\omega}{c}\bigg)\dfrac{e^{\pm i\omega\varepsilon/c}}{\varepsilon}\int_{\partial U_{\varepsilon}(X)}u\,dS-\dfrac{\omega^2e^{\pm i\omega \varepsilon/c}}{c^2\varepsilon}\int_{U_{\varepsilon}(X)}u\,dV \end{align}

この積分の項は $\varepsilon\to 0$ の極限で

\begin{align} \dfrac{1}{\varepsilon^2}\int_{\partial U_{\varepsilon}(X)}u\,dS\to 4\pi u(X),\ \dfrac{1}{\varepsilon^3}\int_{U_{\varepsilon}(X)}u\,dV\to \dfrac{4\pi}{3}\Delta u(X) \end{align}

となります。この極限の値を使えば

\begin{align} \int_{\partial\Omega}(u\partial_nv-v\partial_nu)\,dS=-4\pi u(X) \end{align}

という簡潔な式が得られます。これをキルヒホッフの積分定理と呼びます。$\Omega$ の内部の任意の点での振幅 $u(X)$ を得るためには $\partial\Omega$ での $u,\partial_nu$ (境界条件と言う)が分かっていれば良いわけです。波動が伝搬する途中経過を見なくて済むので便利ですね。

今回はここまで。次回はキルヒホッフの積分定理をホイヘンスの原理で解釈してみます。(written by J.Nishigata)

光・波動18- キルヒホッフの積分定理