前回、波動方程式を導出しました。

\begin{align} \Delta f=\dfrac{1}{c^2}\partial_t^2f \end{align}

この方程式の解には例えば $f=f_0(\langle k,x\rangle-\omega t),\omega/\|k\|=c$ 等があります。これは平面波と呼ばれる解ですが、等位相面を見てみると

\begin{align} \langle k,x\rangle-\omega t=\mathrm{const.}\Longrightarrow\langle k/\|k\|,\partial_t x\rangle=c \end{align}

すなわち $k$ 方向に速さ $c$ で伝搬する様子が理解できます。波動方程式はこのような伝搬する波のイメージをもちます。では早速波動方程式を解いていきましょう。方針は以前扱った熱伝導方程式と同様です。位置と時間の分離解 $f=u(x)T(t)$ を代入してみましょう。

\begin{align} &\Delta u=\dfrac{a}{c^2}u,\\ &\partial_t^2T=aT \end{align}

時間の方程式に着目すると、$a < 0$ の場合は単振動、$a=0$ の場合は $T=1,t$、$a > 0$ の場合は $T=e^{\pm\sqrt{a}t}$ という特殊解が得られます。この中で $T=t,e^{\sqrt{a}t}$ は時間発散してしまうため、物理学的には実現しません。

$a$ で分類される解の中で今回取り扱うものは $a < 0$ の場合です。$\omega=\sqrt{-a}$ とおきましょう。

このときの波動方程式の特殊解は位置を固定して様子を観察すると、一定の振幅で単振動をしているだけで安定しているように見えます。この特殊解を定常波、そのときの位置の方程式を定常状態の波動方程式と呼びます。

定常状態の波動方程式はヘルムホルツ方程式です。以前解いたことを覚えていますか。球面ベッセル関数を $j_k$、球面ノイマン関数を $n_k$、球面調和関数を $Y_{kl}$ とおくと

\begin{align} u=\sum\{c_{kl}j_k(\omega \|x\|/c)+d_{kl}n_k(\omega \|x\|/c)\}Y_{kl}(x/\|x\|) \end{align}

が一般解でしたね。$k$ は整数なので $j_k$ と $j_{-k-1}$ は同一の球面ベッセル方程式の独立する 2 解になっています。これを考慮して、改めて

\begin{align} u=\sum\{c_{kl}j_k(\omega \|x\|/c)+d_{kl}j_{-k-1}(\omega \|x\|/c)\}Y_{kl}(x/\|x\|) \end{align}

と書いておいた方が分り易いでしょう。今回はここまで。次回は定常状態の波動方程式の最も基本的である特殊解「球面波」の話をします。(written by J.Nishigata)

光・波動16- 定常状態の波動方程式を解いてみよう