電荷は質量ある物質です。したがって突然生み出されることもないですし消滅することもありません。任意の連結領域 $\Omega$ 内部の総電荷量の時間変化は $\Omega$ への電流の出入りとバランスをとっています。以前計算した熱エネルギーとフラックスの関係と同じですね。

\begin{align} \partial_t\rho=-\mathrm{div}j \end{align}

これを電荷保存則と呼びます。これを用いて、定常な電流に限定していた前回の結論を非定常な場合にも使えるように拡張してみましょう。

\begin{align} \mathrm{rot}B=\mu_0j \end{align}

これの発散を計算すると $\mathrm{div}\,\mathrm{rot}=0$ に注意して $\mu_0\mathrm{div}j=-\mu_0\partial_t\rho=0$ が得られます。この式が非定常時に不具合を起こすので、あらかじめ補正項を入れた

\begin{align} \mathrm{rot}B=\mu_0j+C \end{align}

から $C$ を求めていくことにしましょう。先程不具合を起こした式は、補正が入ることにより

\begin{align} -\mu_0\partial_t\rho+\mathrm{div}C=0 \end{align}

となります。ここでクーロンの法則から得られた $\varepsilon_0\mathrm{div}E=\rho$ を時間微分して $\rho$ を消去すると

\begin{align} -\varepsilon_0\mu_0\partial_t\mathrm{div}E+\mathrm{div}C=0 \end{align}

すなわち $C-\varepsilon_0\mu_0\partial_tE$ は発散のカーネルでなければなりません。発散のカーネルには回転分の不定性がありますが、実験的に $C=\varepsilon_0\mu_0\partial_tE$ となり

\begin{align} \mathrm{rot}B=\mu_0j+\varepsilon_0\mu_0\partial_tE \end{align}

これはアンペールマクスウェルの法則と呼ばれています。今回はここまで。次回はマクスウェル方程式の話をします。(written by J.Nishigata)

光・波動14- 電荷保存則