前回はルジャンドル多項式と球面調和関数の関係を調べました。球面調和関数空間には直交性が成り立ちますので、ルジャンドル多項式も同様の性質をもつのではないかと期待できます。

ルジャンドル多項式の積を考えましょう。

\begin{align} P_j(\langle x,y\rangle)P_k(\langle x,y\rangle)=\dfrac{16\pi^2}{N_jN_k}\sum_{l=1}^{N_j} Y_{jl}(x)Y_{jl}(y)\sum_{l=1}^{N_k} Y_{kl}(x)Y_{kl}(y) \end{align}

変数 $x$ に間して球面上で積分を計算してみましょう。すると右辺は $j\neq k$ のとき球面調和関数の直交性より零、$j=k$ のとき

\begin{align} \dfrac{16\pi^2}{N_k^2}\sum_{l=1}^{N_k} Y_{kl}(y)^2=\dfrac{4\pi}{N_k} \end{align}

一方、左辺は $y=(0,0,1)$ とおいて球面極座標で計算すると

\begin{align} 2\pi\int_0^{\pi}P_j(\cos\varphi)P_k(\cos\varphi)\sin\varphi\,d\varphi=2\pi\int_{-1}^1P_j(t)P_k(t)\,dt \end{align}

となります。結果をまとめると

\begin{align} \int_{-1}^1P_j(t)P_k(t)\,dt=\dfrac{2}{N_k}\delta_{jk} \end{align}

直交性が得られました。球面調和関数から続く文脈で計算すると極めて簡単なことですね。ちなみに、この文脈なしでいきなりルジャンドル多項式を定義して直交性を証明することは意外と面倒です。興味のある方はロドリゲスの公式を調べてみると良いでしょう。

今回はここまで。一旦これで球面調和関数の話題を終了したいのですが、最後に役立つ話をしてみたいと思います。では次回。(written by J.Nishigata)

フーリエ27- ルジャンドル多項式の直交性を調べよう