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前回は、球面調和関数の 2 次対称テンソルが満足する方程式としてルジャンドル方程式を導きました。

\begin{align}
(1-x^2)\partial^2f-2x\partial f+k(k+1)f=0
\end{align}

今回はこの方程式を自然数 $k$ の条件下で解いてみましょう。以前解いたベッセル方程式も同様ですが、このような線形の 2 階常微分方程式は、特殊解の一方がわかってしまえば他方は機械的に計算することができます。$f=p$ が解の場合 $f=pg$ とおけば良いだけです。


今回の場合では

\begin{align}
f=p\int\dfrac{1}{(1-x^2)p^2}\,dx
\end{align}

という具合に計算できます。したがって、まずは片方の特殊解のみ見つけることにしましょう。$k=0$ の場合は $f(x)=1$、$k=1$ の場合は $f(x)=x$ という特殊解が簡単に見つかります。では $k\ge 2$ の場合はどうでしょうか。


上手く式変形して解ける雰囲気ではないので、試しに多項式を代入してみます。

\begin{align}
&f(x)=x^k\Longrightarrow(1-x^2)\partial^2f-2x\partial f+k(k+1)f=k(k-1)x^{k-2},\\
&f(x)=x^{k-2}\Longrightarrow(1-x^2)\partial^2f-2x\partial f+k(k+1)f=(k-2)(k-3)x^{k-4}+(4k-2)x^{k-2},\\
&f(x)=x^{k-4}\Longrightarrow\cdots
\end{align}

右辺を高い次数から消去していけば何とかなりそうですが、この方程式列はどこまで降下していくのでしょうか。

\begin{align}

&f(x)=x\Longrightarrow(1-x^2)\partial^2f-2x\partial f+k(k+1)f=(k+2)(k-1)x,\\
&f(x)=1\Longrightarrow(1-x^2)\partial^2f-2x\partial f+k(k+1)f=k(k+1)
\end{align}

$k$ の偶奇により 0 次もしくは 1 次でとまります。したがって適当な線形結合で右辺を零にできる、すなわち今探している解は $k$ 次の多項式であることが分りました。


さて、今考えている多項式解の $x=1$ での値はどのようになっているでしょうか。$f(1)=0$ と仮定してみます。ルジャンドル方程式に $x=1$ を代入すると $\partial f(1)=0$ が得られます。故に $f$ は $x=1$ で重解をもちます。

\begin{align}
f(x)=(x-1)^2q(x)\Longrightarrow&(1-x^2)\partial^2f-2x\partial f+k(k+1)f\\
&=2(1-x)(1+3x)q+(x-1)^2(\mathrm{polunomial})
\end{align}

因数の個数が合いませんね。したがって $f(1)\neq 0$ であることが分ります。適当な定数を掛けることによって $f(1)=1$ を満足するような $k$ 次の多項式解を $k$ 次のルジャンドル多項式と呼びます。こちらの特殊解の話はこの辺までにして、もう一方の特殊解を考えて見ましょう。


$x=1$ で 1 位の極をもつ関数の積分にルジャンドル多項式を掛けたものが他方の解になっています。したがって、この解は $x=1$ を極にもちます。


今回はこの辺まで。次回は、前回の尻切れになっている部分をやりましょう。(written by J.Nishigata)


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フーリエ25- ルジャンドル方程式に挑戦してみよう

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前回はルジャンドル多項式と球面調和関数の関係を調べました。球面調和関数空間には直交性が成り立ちますので、ルジャンドル多項式も同様の性質をもつのではないかと期待できます。


ルジャンドル多項式の積を考えましょう。

\begin{align}
P_j(\langle x,y\rangle)P_k(\langle x,y\rangle)=\dfrac{16\pi^2}{N_jN_k}\sum_{l=1}^{N_j} Y_{jl}(x)Y_{jl}(y)\sum_{l=1}^{N_k} Y_{kl}(x)Y_{kl}(y)
\end{align}

変数 $x$ に間して球面上で積分を計算してみましょう。すると右辺は $j\neq k$ のとき球面調和関数の直交性より零、$j=k$ のとき

\begin{align}
\dfrac{16\pi^2}{N_k^2}\sum_{l=1}^{N_k} Y_{kl}(y)^2=\dfrac{4\pi}{N_k}
\end{align}

一方、左辺は $y=(0,0,1)$ とおいて球面極座標で計算すると

\begin{align}
2\pi\int_0^{\pi}P_j(\cos\varphi)P_k(\cos\varphi)\sin\varphi\,d\varphi=2\pi\int_{-1}^1P_j(t)P_k(t)\,dt
\end{align}

となります。結果をまとめると

\begin{align}
\int_{-1}^1P_j(t)P_k(t)\,dt=\dfrac{2}{N_k}\delta_{jk}
\end{align}

直交性が得られました。球面調和関数から続く文脈で計算すると極めて簡単なことですね。ちなみに、この文脈なしでいきなりルジャンドル多項式を定義して直交性を証明することは意外と面倒です。興味のある方はロドリゲスの公式を調べてみると良いでしょう。


今回はここまで。一旦これで球面調和関数の話題を終了したいのですが、最後に役立つ話をしてみたいと思います。では次回。(written by J.Nishigata)


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フーリエ26- 球面調和関数とルジャンドル多項式の関係