MathJax = {
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    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






前回、微分形式を上手く射影することによって $\xi^p$ から $p$ を分離しました。これを使って以前計算したポンペイユ変換の導関数を書き直すと

\begin{align}
&\partial_pg^{-1}\mathscr{P}f(1)=\int_{\partial\Omega}g^{-1}f\dfrac{\langle p,\nu\rangle}{\langle x,\nu\rangle}\omega,\\
&\partial_p^2g^{-1}\mathscr{P}f(1)=\int_{\partial\Omega}\partial_pg^{-1}f\dfrac{\langle p,\nu\rangle}{\langle x,\nu\rangle}\omega,\\
&\partial_{pq}g^{-1}\mathscr{P}f(1)=\int_{\partial\Omega}g^{-1}f\dfrac{-\langle q,x\rangle\langle p,\nu\rangle+\langle p,x\rangle\langle q,\nu\rangle}{\langle x,\nu\rangle}\omega
\end{align}

となります。$2$ つ目の式を $p=e_1,\dots,e_n$ に渡り総和をとり

\begin{align}
\Delta g^{-1}\mathscr{P}f(1)=\int_{\partial\Omega}\dfrac{\partial_{\nu}g^{-1}f}{\langle x,\nu\rangle}\omega
\end{align}

を得ます。これでラプラシアンは計算できました。ここからの方針は、一旦ポンペイユ変換を球面の族に関する積分変換

\begin{align}
\psi(r,y)=\int_{S^{n-1}}f(rx+y)\omega
\end{align}

を使って記述することから始めたいと思います。そのためには、ポンペイユ変換を球面に沿って積分する必要があります。次回は、ポンペイユ変換の積分に関して考えましょう。(written by J.Nishigata)


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研究149- ポンペイユ変換のラプラシアン

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  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
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前回の積分を使ってポンペイユ変換の導関数を変形しましょう。$p$ 方向への導関数は

\begin{align}
\dfrac{1}{\sigma_{n-2}}\int_{S^{n-1}}\bigg\{\int_{\partial S_u}\partial_pg^{-1}\mathscr{P}f(1)\omega_v^u\bigg\}\omega_u=\int_{\partial\Omega}\dfrac{\langle p,\nu\rangle}{\langle x,\nu\rangle}\psi(\|x+re_1\|,y)\omega
\end{align}

$pq$ 平面に関する回転方向への導関数は

\begin{align}
\dfrac{1}{\sigma_{n-2}}\int_{S^{n-1}}\bigg\{\int_{\partial S_u}\partial_{pq} g^{-1}\mathscr{P}f(1)\omega_v^u\bigg\}\omega_u=\int_{\partial\Omega}\dfrac{-\langle q,x\rangle\langle p,\nu\rangle+\langle p,x\rangle\langle q,\nu\rangle}{\langle x,\nu\rangle}\psi(\|x+re_1\|,y)\omega
\end{align}

となります。これら $2$ つの式の右辺をどのように考えればよいでしょうか。$\psi$ の積分変換であると捉えるのが良さそうです。$X=\|x+re_1\|$ と置換して $X$ に関する積分を分離しましょう。

\begin{align}
\dfrac{\omega}{\langle x,\nu\rangle}=\dfrac{\|x+re_1\|}{\sqrt{\|x+re_1\|^2-\langle x+re_1,\nu\rangle^2}}\,dX\wedge\eta
\end{align}

とすれば $\eta$ は $\{x\in\partial\Omega:\|x+re_1\|=X\}$ の体積形式になりますね。

\begin{align}
&\dfrac{1}{\sigma_{n-2}}\int_{S^{n-1}}\bigg\{\int_{\partial S_u}\partial_pg^{-1}\mathscr{P}f(1)\omega_v^u\bigg\}\omega_u=\int_m^M\bigg\{\int_{\{x\in\partial\Omega:\|x+re_1\|=X\}}\dfrac{\langle p,\nu\rangle\|x+re_1\|}{\sqrt{\|x+re_1\|^2-\langle x+re_1,\nu\rangle^2}}\eta\bigg\}\psi(X,y)\,dX,\\
&\dfrac{1}{\sigma_{n-2}}\int_{S^{n-1}}\bigg\{\int_{\partial S_u}\partial_{pq} g^{-1}\mathscr{P}f(1)\omega_v^u\bigg\}\omega_u=\int_m^M\bigg\{\int_{\{x\in\partial\Omega:\|x+re_1\|=X\}}\dfrac{(-\langle q,x\rangle\langle p,\nu\rangle+\langle p,x\rangle\langle q,\nu\rangle)\|x+re_1\|}{\sqrt{\|x+re_1\|^2-\langle x+re_1,\nu\rangle^2}}\eta\bigg\}\psi(X,y)\,dX
\end{align}

ここに $m=m(r),M=M(r)$ は $\|x+re_1\|,x\in\partial\Omega$ の最小値と最大値です。以上で $\psi$ の積分変換の形になりました。今回はここまで。次回は、この積分変換の積分核を調べます。(written by J.Nishigata)


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研究150- 凸体境界上の積分と球面上の積分