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    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






まず、$\partial\Omega$ 上の体積形式 $\sigma$ を動径方向へ射影しましょう。

\begin{align}
\omega=\sum_{i=1}^n(-1)^{i+1}x^i\,dx^1\wedge\cdots\hat{i}\cdots\wedge dx^n
\end{align}

とおくと射影は $\omega/\|x\|=\langle x/\|x\|,\nu(x)\rangle\sigma$ となります。一方 $\sigma$ を $p$ 方向へ射影すると

\begin{align}
\xi^p=\langle p,\nu(x)\rangle\sigma
\end{align}

ですね。これらを連立させて

\begin{align}
\xi^p=\dfrac{\langle p,\nu(x)\rangle}{\langle x,\nu(x)\rangle}\omega
\end{align}

が得られます。直感的に理解してしまえば以上の説明で良いのですが、もう少し厳密に考えてみましょう。$x\in\partial\Omega$ であるということは

\begin{align}
\langle \nu,dx\rangle=0
\end{align}

が成立するということです。これを用いて式変形をしていきます。

\begin{align}
\dfrac{\langle p,\nu(x)\rangle}{\langle x,\nu(x)\rangle}\omega&=\dfrac{1}{\langle x,\nu(x)\rangle}\sum_{i,j=1}^n(-1)^{j+1}p^i\nu^ix^j\,dx^1\wedge\cdots\hat{j}\cdots\wedge dx^n\\
&=\dfrac{1}{\langle x,\nu(x)\rangle}\sum_{i,j=1}^n(-1)^{i+j+1}\mathrm{sign}(i-j)p^i\nu^ix^j\,dx^i\wedge dx^1\wedge\cdots\hat{i}\hat{j}\cdots\wedge dx^n\\
&\quad+\dfrac{1}{\langle x,\nu(x)\rangle}\sum_{i=1}^n(-1)^{i+1}p^i\nu^ix^i\,dx^1\wedge\cdots\hat{i}\cdots\wedge dx^n\\
&=\dfrac{1}{\langle x,\nu(x)\rangle}\sum_{i,j=1}^n(-1)^{i+j}\mathrm{sign}(i-j)p^i\nu^jx^j\,dx^j\wedge dx^1\wedge\cdots\hat{i}\hat{j}\cdots\wedge dx^n\\
&\quad+\dfrac{1}{\langle x,\nu(x)\rangle}\sum_{i=1}^n(-1)^{i+1}p^i\nu^ix^i\,dx^1\wedge\cdots\hat{i}\cdots\wedge dx^n\\
&=\dfrac{1}{\langle x,\nu(x)\rangle}\sum_{i,j=1}^n(-1)^{i+1}p^i\nu^jx^j\,dx^1\wedge\cdots\hat{i}\cdots\wedge dx^n\\
&=\sum_{i=1}^n(-1)^{i+1}p^i\,dx^1\wedge\cdots\hat{i}\cdots\wedge dx^n\\
&=\xi^p
\end{align}

確かに同じ結果が得られましたね。今回はここまで。次回は、今回の結果を使ってポンペイユ変換のラプラシアンを計算しましょう。(written by J.Nishigata)


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研究148- 微分形式の射影

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    inlineMath: [['$', '$']]
  }
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前回方針を決めた通り

\begin{align}
\mathscr{Q}f(g)=\int_{\partial\Omega}g^{-1}f\omega
\end{align}

を適当に積分して $\psi$ を用いて表すことを考えます。平面の問題の場合は、$g$ を適当にとり

\begin{align}
\mathscr{Q}f(g)=\int_{\partial\Omega}f(R_{\varphi}x+re(\varphi)+y)\omega
\end{align}

としてから $\varphi$ に関して積分すれば

\begin{align}
\int_0^{2\pi}\mathscr{Q}f(g)\,d\varphi=\int_{\partial\Omega}\psi(\|x+re_1\|,y)\omega
\end{align}

が得られます。簡単ですね。しかし一般次元の問題では、$x$ によらず球面全体を一様に渡るような工夫をしなければなりません。

\begin{align}
\mathscr{Q}f(g)=\int_{\partial\Omega}f(x^1u+\sqrt{\|x\|^2-(x^1)^2}v+ru+y)\omega
\end{align}

となるように $g$ をとればよいでしょう。これを $v$ に関して $\partial S_u$ 上で積分し、$u$ に関して $S^{n-1}$ 上で積分すれば $x$ によらずに球面全体で一様な積分になります。

\begin{align}
\int_{S^{n-1}}\bigg\{\int_{\partial S_u}\mathscr{Q}f(g)\omega^u_v\bigg\}\omega_u&=\int_{\partial\Omega}\bigg\{\int_{S^{n-1}}\bigg\{\int_{\partial S_u}f(x^1u+\sqrt{\|x\|^2-(x^1)^2}v+ru+y)\omega^u_v\bigg\}\omega_u\bigg\}\omega_x\\
&=\sigma_{n-2}\int_{\partial\Omega}\psi(\|x+re_1\|,y)\omega
\end{align}

今回はここまで。次回は、$\psi$ と関連付けたポンペイユ変換を動径方向の関数として考えていきます。(written by J.Nishigata)


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研究149- ポンペイユ変換のラプラシアン