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前回方針を決めた通り

\begin{align}
\mathscr{Q}f(g)=\int_{\partial\Omega}g^{-1}f\omega
\end{align}

を適当に積分して $\psi$ を用いて表すことを考えます。平面の問題の場合は、$g$ を適当にとり

\begin{align}
\mathscr{Q}f(g)=\int_{\partial\Omega}f(R_{\varphi}x+re(\varphi)+y)\omega
\end{align}

としてから $\varphi$ に関して積分すれば

\begin{align}
\int_0^{2\pi}\mathscr{Q}f(g)\,d\varphi=\int_{\partial\Omega}\psi(\|x+re_1\|,y)\omega
\end{align}

が得られます。簡単ですね。しかし一般次元の問題では、$x$ によらず球面全体を一様に渡るような工夫をしなければなりません。

\begin{align}
\mathscr{Q}f(g)=\int_{\partial\Omega}f(x^1u+\sqrt{\|x\|^2-(x^1)^2}v+ru+y)\omega
\end{align}

となるように $g$ をとればよいでしょう。これを $v$ に関して $\partial S_u$ 上で積分し、$u$ に関して $S^{n-1}$ 上で積分すれば $x$ によらずに球面全体で一様な積分になります。

\begin{align}
\int_{S^{n-1}}\bigg\{\int_{\partial S_u}\mathscr{Q}f(g)\omega^u_v\bigg\}\omega_u&=\int_{\partial\Omega}\bigg\{\int_{S^{n-1}}\bigg\{\int_{\partial S_u}f(x^1u+\sqrt{\|x\|^2-(x^1)^2}v+ru+y)\omega^u_v\bigg\}\omega_u\bigg\}\omega_x\\
&=\sigma_{n-2}\int_{\partial\Omega}\psi(\|x+re_1\|,y)\omega
\end{align}

今回はここまで。次回は、$\psi$ と関連付けたポンペイユ変換を動径方向の関数として考えていきます。(written by J.Nishigata)


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研究150- 凸体境界上の積分と球面上の積分

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前回、$2$ つの積分変換が登場しました。今回は前者の積分核について調べていきます。

\begin{align}
k(X,r)=\int_{\{x\in\partial\Omega:\|x+re_1\|=X\}}\dfrac{\nu\|x+re_1\|}{\sqrt{\|x+re_1\|^2-\langle x+re_1,\nu\rangle^2}}\eta
\end{align}

この積分核の端点 $X=m,M$ 近傍での様子を調べてみましょう。まずは $X=m$ の近傍にフォーカスします。


$r$ が充分大きければ $m(r)=\|x+re_1\|$ なる $x$ は唯一つ存在します。これを $x_m$ とおきます。更に $x_m$ での曲率に関する主方向を $u_1,\dots,u_{n-1}$、それぞれの方向への曲率を $\chi_1,\dots,\chi_{n-1}$ としておきます。


$X=m+\varepsilon$ での $\{x\in\partial\Omega:\|x+re_1\|=X\}$ を近似しましょう。$x=x_m$ 近傍での $\partial\Omega$ を極表示を用いた $2$ 次曲面として

\begin{align}
x=x_m+\rho\sum_{i=1}^{n-1}t^iu_i-\dfrac{1}{2}\rho^2\nu(x_m)\sum_{i=1}^{n-1}\chi_i(t^i)^2,\ t\in S^{n-2}
\end{align}

のように近似します。これを $\|x+re_1\|=X$ に代入すると

\begin{align}
\bigg\|x_m+re_1+\rho\sum_{i=1}^{n-1}t^iu_i-\dfrac{1}{2}\rho^2\nu(x_m)\sum_{i=1}^{n-1}\chi_i(t^i)^2\bigg\|=m+\varepsilon
\end{align}

$x_m+re_1=-m\nu(x_m)$ であることに注意すると

\begin{align}
\rho^2+\bigg\{m+\dfrac{1}{2}\rho^2\sum_{i=1}^{n-1}\chi_i(t^i)^2\bigg\}^2=(m+\varepsilon)^2\approx m^2+2m\varepsilon
\end{align}

これを $\rho$ に関して解けば良いですね。

\begin{align}
\rho=\sqrt{2m\varepsilon\bigg/\bigg\{1+m\sum_{i=1}^{n-1}\chi_i(t^i)^2\bigg\}}
\end{align}

このような曲面 $\rho\sum_{i=1}^{n-1}t^iu_i$ は、各主方向へ

\begin{align}
\sqrt{\dfrac{2m\varepsilon}{1+m\chi_i}}
\end{align}

の半径をもつ楕円曲面ですね。この特徴を反映するならば、$\{x\in\partial\Omega:\|x+re_1\|=X\}$ の表示は極表示ではなく球面から各軸方向へ引き延ばし変形させたものであるとして捉えた方が分り易いです。

\begin{align}
x=x_m+\sum_{i=1}^{n-1}t^iu_i\sqrt{\dfrac{2m\varepsilon}{1+m\chi_i}}-\dfrac{1}{2}\nu(x_m)\sum_{i=1}^{n-1}\dfrac{2m\chi_i(t^i)^2\varepsilon}{1+m\chi_i},\ t\in S^{n-2}
\end{align}

$\nu$ も $t$ の関数として求めてみます。$x\in\partial\Omega$ の $\nu(x_m)$ 成分を微分すれば接平面が分かるので

\begin{align}
\nu(x)=\bigg\{\nu(x_m)+\sum_{i=1}^{n-1}\chi_it^iu_i\sqrt{\dfrac{2m\varepsilon}{1+m\chi_i}}\bigg\}\bigg/\sqrt{1+\sum_{i=1}^{n-1}\dfrac{2m\chi_i^2(t^i)^2\varepsilon}{1+m\chi_i}}
\end{align}

微分形式 $\eta$ も $\{x\in\partial\Omega:\|x+re_1\|=X\}$ から $S^{n-2}$ に引き戻してみると

\begin{align}
\dfrac{1}{\sqrt{2m\varepsilon}}\sqrt{1+\sum_{i=1}^{n-1}m\chi_i(t^i)^2}\prod_{i=1}^{n-1}\sqrt{\dfrac{2m\varepsilon}{1+m\chi_i}}\tilde{\omega}(1+O(\varepsilon^2))
\end{align}

ここに $\tilde{\omega}$ は $S^{n-2}$ の体積形式です。以上の準備で $k(m+\varepsilon,r)$ は具体的に計算できます。

\begin{align}
k(m+\varepsilon,r)=\dfrac{1}{2}\varepsilon^{(n-3)/2}\prod_{i=1}^{n-1}\sqrt{\dfrac{2m}{1+m\chi_i}}\int_{S^{n-2}}\nu\tilde{\omega}(1+O(\varepsilon))
\end{align}

$X=M$ の近傍に関しても $r$ が充分大きければ $M(r)=\|x+re_1\|$ なる $x$ が唯一つ存在して、同様の議論をすることができます。

\begin{align}
k(M-\varepsilon,r)=\dfrac{1}{2}\varepsilon^{(n-3)/2}\prod_{i=1}^{n-1}\sqrt{\dfrac{2M}{-1+M\chi_i}}\int_{S^{n-2}}\nu\tilde{\omega}(1+O(\varepsilon))
\end{align}

今回はここまで。次回はもう一方の積分核に対しても端点近傍の振る舞いを観察します。(written by J.Nishigata)


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研究151- 球面の族に関する積分変換に掛かる積分核