MathJax = {
  chtml: {
    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






ポンペイユ変換の定義を覚えていますか。

\begin{align}
\mathscr{P}f:G\ni g\mapsto\int_{\Omega}g^{-1}f\xi
\end{align}

ここに $G$ は剛体運動群、$\xi$ は $\mathbb{R}^n$ の体積形式です。


今回は $\mathscr{P}f$ の導関数を計算しましょう。まず、$p\in S^{n-1}$ 方向への導関数は

\begin{align}
&\partial_pg^{-1}f\xi=d(g^{-1}f\xi^p),\\
&\xi^p=\sum_{i=1}^n(-1)^{i+1}p^i\,dx^1\wedge\cdots\hat{i}\cdots\wedge dx^n
\end{align}

に注意して

\begin{align}
\partial_pg^{-1}\mathscr{P}f(1)=\int_{\Omega}\partial_pg^{-1}f\xi=\int_{\partial\Omega}g^{-1}f\xi^p
\end{align}

もう一度微分すると

\begin{align}
\partial_p^2g^{-1}\mathscr{P}f(1)=\int_{\partial\Omega}\partial_pg^{-1}f\xi^p
\end{align}

次に回転方向への導関数を計算しましょう。$p$ に直交する単位ベクトル $q$ に対して

\begin{align}
(-\langle q,x\rangle\partial_pg^{-1}f+\langle p,x\rangle\partial_qg^{-1}f)\xi=d(-\langle q,x\rangle g^{-1}f\xi^p+\langle p,x\rangle g^{-1}f\xi^q)
\end{align}

に注意して

\begin{align}
\partial_{pq}g^{-1}\mathscr{P}f(1)&=\int_{\Omega}\partial_{pq}g^{-1}f\xi\\
&=\int_{\Omega}(-\langle q,x\rangle\partial_pg^{-1}f+\langle p,x\rangle\partial_qg^{-1}f)\xi\\
&=\int_{\partial\Omega}-\langle q,x\rangle g^{-1}f\xi^p+\langle p,x\rangle g^{-1}f\xi^q
\end{align}

今回はここまで。ラプラシアンを計算し、きれいな形にするためには $\xi^p$ の部分の工夫が必要ですね。次回やりましょう。(written by J.Nishigata)


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研究147- ポンペイユ変換の導関数

MathJax = {
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  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






前回、微分形式を上手く射影することによって $\xi^p$ から $p$ を分離しました。これを使って以前計算したポンペイユ変換の導関数を書き直すと

\begin{align}
&\partial_pg^{-1}\mathscr{P}f(1)=\int_{\partial\Omega}g^{-1}f\dfrac{\langle p,\nu\rangle}{\langle x,\nu\rangle}\omega,\\
&\partial_p^2g^{-1}\mathscr{P}f(1)=\int_{\partial\Omega}\partial_pg^{-1}f\dfrac{\langle p,\nu\rangle}{\langle x,\nu\rangle}\omega,\\
&\partial_{pq}g^{-1}\mathscr{P}f(1)=\int_{\partial\Omega}g^{-1}f\dfrac{-\langle q,x\rangle\langle p,\nu\rangle+\langle p,x\rangle\langle q,\nu\rangle}{\langle x,\nu\rangle}\omega
\end{align}

となります。$2$ つ目の式を $p=e_1,\dots,e_n$ に渡り総和をとり

\begin{align}
\Delta g^{-1}\mathscr{P}f(1)=\int_{\partial\Omega}\dfrac{\partial_{\nu}g^{-1}f}{\langle x,\nu\rangle}\omega
\end{align}

を得ます。これでラプラシアンは計算できました。ここからの方針は、一旦ポンペイユ変換を球面の族に関する積分変換

\begin{align}
\psi(r,y)=\int_{S^{n-1}}f(rx+y)\omega
\end{align}

を使って記述することから始めたいと思います。そのためには、ポンペイユ変換を球面に沿って積分する必要があります。次回は、ポンペイユ変換の積分に関して考えましょう。(written by J.Nishigata)


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研究148- 微分形式の射影