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  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
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方針は以前述べた通り背理法を使います。すなわち $\chi_g(\nu^{-1}(x))=\chi_g(\nu^{-1}(-x))$ が成立すると仮定して矛盾を導きます。

\begin{align}
\mathrm{vol}(\Omega)&=\dfrac{1}{n}\int_{S^{n-1}}\dfrac{\langle \nu^{-1}(x),x\rangle}{\chi_g(\nu^{-1}(x))}\omega\\
&=\dfrac{1}{2n}\int_{S^{n-1}}\bigg\{\dfrac{\langle \nu^{-1}(x),x\rangle}{\chi_g(\nu^{-1}(x))}+\dfrac{\langle \nu^{-1}(-x),-x\rangle}{\chi_g(\nu^{-1}(-x))}\bigg\}\omega\\
&=\dfrac{1}{2n}\int_{S^{n-1}}\dfrac{\langle \nu^{-1}(x),x\rangle+\langle \nu^{-1}(-x),-x\rangle}{\chi_g(\nu^{-1}(x))}\omega
\end{align}

$\Omega$ が定幅であることは既に証明しているので

\begin{align}
\mathrm{vol}(\Omega)&=\dfrac{c}{2n}\int_{S^{n-1}}\dfrac{1}{\chi_g(\nu^{-1}(x))}\omega\\
&=\dfrac{c}{2n}\mathrm{vol}(\partial\Omega)
\end{align}

この式を等周不等式に代入しましょう。

\begin{align}
\mathrm{vol}(\Omega)^{n-1}&\le\dfrac{\Gamma((n+2)/2)}{n^n\pi^{n/2}}\mathrm{vol}(\partial \Omega)^n\\
&=\dfrac{2^n\Gamma((n+2)/2)}{c^n\pi^{n/2}}\mathrm{vol}(\Omega)^n
\end{align}

これを整理すると

\begin{align}
\mathrm{vol}(\Omega)\ge \dfrac{c^n\pi^{n/2}}{2^n\Gamma((n+2)/2)}
\end{align}

ここで、以前説明した定幅な凸体の体積評価を思い出しましょう。

\begin{align}
\mathrm{vol}(\Omega)\le \dfrac{c^n\pi^{n/2}}{2^n\Gamma((n+2)/2)}
\end{align}

で、等号成立は球体に限るのでした。両者を比較して、等号成立が得られますが、$\Omega$ は球体ではないと初めに設定しているので矛盾が生じますね。以上で、或る $x$ が存在して $\chi_g(\nu^{-1}(x))\neq\chi_g(\nu^{-1}(-x))$ となることが証明できました。


今回はここまで。(written by J.Nishigata)


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研究146- 後半の問題を考える

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まず、$\partial\Omega$ 上の体積形式 $\sigma$ を動径方向へ射影しましょう。

\begin{align}
\omega=\sum_{i=1}^n(-1)^{i+1}x^i\,dx^1\wedge\cdots\hat{i}\cdots\wedge dx^n
\end{align}

とおくと射影は $\omega/\|x\|=\langle x/\|x\|,\nu(x)\rangle\sigma$ となります。一方 $\sigma$ を $p$ 方向へ射影すると

\begin{align}
\xi^p=\langle p,\nu(x)\rangle\sigma
\end{align}

ですね。これらを連立させて

\begin{align}
\xi^p=\dfrac{\langle p,\nu(x)\rangle}{\langle x,\nu(x)\rangle}\omega
\end{align}

が得られます。直感的に理解してしまえば以上の説明で良いのですが、もう少し厳密に考えてみましょう。$x\in\partial\Omega$ であるということは

\begin{align}
\langle \nu,dx\rangle=0
\end{align}

が成立するということです。これを用いて式変形をしていきます。

\begin{align}
\dfrac{\langle p,\nu(x)\rangle}{\langle x,\nu(x)\rangle}\omega&=\dfrac{1}{\langle x,\nu(x)\rangle}\sum_{i,j=1}^n(-1)^{j+1}p^i\nu^ix^j\,dx^1\wedge\cdots\hat{j}\cdots\wedge dx^n\\
&=\dfrac{1}{\langle x,\nu(x)\rangle}\sum_{i,j=1}^n(-1)^{i+j+1}\mathrm{sign}(i-j)p^i\nu^ix^j\,dx^i\wedge dx^1\wedge\cdots\hat{i}\hat{j}\cdots\wedge dx^n\\
&\quad+\dfrac{1}{\langle x,\nu(x)\rangle}\sum_{i=1}^n(-1)^{i+1}p^i\nu^ix^i\,dx^1\wedge\cdots\hat{i}\cdots\wedge dx^n\\
&=\dfrac{1}{\langle x,\nu(x)\rangle}\sum_{i,j=1}^n(-1)^{i+j}\mathrm{sign}(i-j)p^i\nu^jx^j\,dx^j\wedge dx^1\wedge\cdots\hat{i}\hat{j}\cdots\wedge dx^n\\
&\quad+\dfrac{1}{\langle x,\nu(x)\rangle}\sum_{i=1}^n(-1)^{i+1}p^i\nu^ix^i\,dx^1\wedge\cdots\hat{i}\cdots\wedge dx^n\\
&=\dfrac{1}{\langle x,\nu(x)\rangle}\sum_{i,j=1}^n(-1)^{i+1}p^i\nu^jx^j\,dx^1\wedge\cdots\hat{i}\cdots\wedge dx^n\\
&=\sum_{i=1}^n(-1)^{i+1}p^i\,dx^1\wedge\cdots\hat{i}\cdots\wedge dx^n\\
&=\xi^p
\end{align}

確かに同じ結果が得られましたね。今回はここまで。次回は、今回の結果を使ってポンペイユ変換のラプラシアンを計算しましょう。(written by J.Nishigata)


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研究147- ポンペイユ変換の導関数