MathJax = {
  chtml: {
    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






まず、線素と曲率の関係から調べていきましょう。用いる記号は前回のものを流用します。$\|\partial a\|=1$ だったので、線素は $dt$ ですね。一方、接ベクトルの微分は $e(\xi+\pi/2)\partial\xi\,dt$ すなわちベクトルの角度は $\partial\xi\,dt$ 変化します。したがって、線素に曲率を掛けると角度の微分になります。


一般次元に対しても、主曲率に分解すれば同様の結論が得られます。$y=\nu^{-1}(x)$ によって $\partial\Omega$ から $S^{n-1}$ への引き戻しを考えてみましょう。$\partial\Omega$ の体積形式は $\omega/\chi_g(\nu^{-1}(x))$ へ引き戻されます。ここに $\chi_g$ はガウス曲率です。


以上より、$\Omega$ の体積は

\begin{align}
\mathrm{vol}(\Omega)=\dfrac{1}{n}\int_{S^{n-1}}\dfrac{\langle \nu^{-1}(x),x\rangle}{\chi_g(\nu^{-1}(x))}\omega
\end{align}

ついでに表面積の式も書いておくと

\begin{align}
\mathrm{vol}(\partial\Omega)=\int_{S^{n-1}}\dfrac{1}{\chi_g(\nu^{-1}(x))}\omega
\end{align}

ですね。今回はここまで。次回は、球体の必要充分条件の節でやり残していた後半の命題を考えます。(written by J.Nishigata)


Copy Right 2020-現在 ALXIS DATA, Inc. All Right Reserved.

研究145- ガウス曲率を使った体積表示

MathJax = {
  chtml: {
    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






ポンペイユ変換の定義を覚えていますか。

\begin{align}
\mathscr{P}f:G\ni g\mapsto\int_{\Omega}g^{-1}f\xi
\end{align}

ここに $G$ は剛体運動群、$\xi$ は $\mathbb{R}^n$ の体積形式です。


今回は $\mathscr{P}f$ の導関数を計算しましょう。まず、$p\in S^{n-1}$ 方向への導関数は

\begin{align}
&\partial_pg^{-1}f\xi=d(g^{-1}f\xi^p),\\
&\xi^p=\sum_{i=1}^n(-1)^{i+1}p^i\,dx^1\wedge\cdots\hat{i}\cdots\wedge dx^n
\end{align}

に注意して

\begin{align}
\partial_pg^{-1}\mathscr{P}f(1)=\int_{\Omega}\partial_pg^{-1}f\xi=\int_{\partial\Omega}g^{-1}f\xi^p
\end{align}

もう一度微分すると

\begin{align}
\partial_p^2g^{-1}\mathscr{P}f(1)=\int_{\partial\Omega}\partial_pg^{-1}f\xi^p
\end{align}

次に回転方向への導関数を計算しましょう。$p$ に直交する単位ベクトル $q$ に対して

\begin{align}
(-\langle q,x\rangle\partial_pg^{-1}f+\langle p,x\rangle\partial_qg^{-1}f)\xi=d(-\langle q,x\rangle g^{-1}f\xi^p+\langle p,x\rangle g^{-1}f\xi^q)
\end{align}

に注意して

\begin{align}
\partial_{pq}g^{-1}\mathscr{P}f(1)&=\int_{\Omega}\partial_{pq}g^{-1}f\xi\\
&=\int_{\Omega}(-\langle q,x\rangle\partial_pg^{-1}f+\langle p,x\rangle\partial_qg^{-1}f)\xi\\
&=\int_{\partial\Omega}-\langle q,x\rangle g^{-1}f\xi^p+\langle p,x\rangle g^{-1}f\xi^q
\end{align}

今回はここまで。ラプラシアンを計算し、きれいな形にするためには $\xi^p$ の部分の工夫が必要ですね。次回やりましょう。(written by J.Nishigata)


Copy Right 2020-現在 ALXIS DATA, Inc. All Right Reserved.

研究146- 後半の問題を考える