MathJax = {
  chtml: {
    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






前回ポンペイユ変換の導関数を計算しましたが、分り易くするために $\partial\Omega$ の弧長表示を用いて具体的に書き直してみましょう。

\begin{align}
\partial_pg^{-1}\mathscr{P}f(1)=\int_{\partial\Omega}g^{-1}f\langle p,(dx^2,-dx^1)\rangle
\end{align}

$\partial a\,dt=(dx^1,dx^2)$ なのでこれを $-\pi/2$ 回転させれば $\nu\,dt=(dx^2,-dx^1)$ が得られます。代入すると

\begin{align}
\partial_pg^{-1}\mathscr{P}f(1)=\int_0^Lg^{-1}f(a(t))\langle p,\nu\rangle\,dt
\end{align}

簡単ですね。続いてラプラシアン像は

\begin{align}
\Delta g^{-1}\mathscr{P}f(1)&=\int_{\partial\Omega}\langle \nabla g^{-1}f,(dx^2,-dx^1)\rangle\\
&=\int_0^L\langle \nabla g^{-1}f(a(t)),\nu\,dt\rangle\\
&=\int_0^L\partial_{\nu}g^{-1}f(a(t))\,dt
\end{align}

回転方向の導関数は

\begin{align}
\partial_{pq} g^{-1}\mathscr{P}f(1)=-\int_0^Lg^{-1}f(a(t))\langle a(t),\partial a(t)\rangle \,dt
\end{align}

今回はここまで。(written by J.Nishigata)


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研究134- ポンペイユ変換の導関数を弧長表示で書き換える

MathJax = {
  chtml: {
    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






前回登場した $2$ つの関数

\begin{align}
&\int_0^{2\pi}\partial_{R_{-\pi/2}p}g^{-1}\mathscr{P}f(1)\,d\theta=\int_0^L\psi(\|a+re_1\|)\langle p,\partial a\rangle\,dt,\\
&r\int_0^{2\pi}\partial_{e_2}g^{-1}\mathscr{P}f(1)\,d\theta-\int_0^{2\pi}\partial_{pq}g^{-1}\mathscr{P}f(1)\,d\theta=\int_0^L\psi(\|a+re_1\|)\langle a,\partial a\rangle\,dt
\end{align}

を $X=\|a(t)+re_1\|$ によって変数変換します。まず前者から。

\begin{align}
\int_0^L\psi(\|a+re_1\|)\langle p,\partial a\rangle\,dt=\int_0^L\psi(\|a+re_1\|)\langle p,\partial a\rangle\dfrac{\|a+re_1\|}{\langle a+re_1,\partial a\rangle}\,d\|a+re_1\|
\end{align}

$t$ を動かしたときの $\|a(t)+re_1\|$ の最小値と最大値を $m(r).M(r)$ とおき、$X\in(m,M)$ での $X=\|a(t)+re_1\|$ の解 $t$ を考えましょう。$\Omega$ は凸体なので、或る $r_0$ が存在して任意の $r>r_0$ に対して解は $L$ の整数倍を除いて $2$ つ存在します。$dX/dt$ が正の解を $t^+(X)$、負の解を $t^-(X)$ としましょう。これで変数変換できますね。

\begin{align}
\int_0^{2\pi}\partial_pg^{-1}\mathscr{P}f(1)\,d\theta=\int_m^M\bigg\{\dfrac{\langle p,\partial a(t^+)\rangle}{\langle a(t^+)+re_1,\partial a(t^+)\rangle}-\dfrac{\langle p,\partial a(t^-)\rangle}{\langle a(t^-)+re_1,\partial a(t^-)\rangle}\bigg\}X\psi(X)\,dX
\end{align}

$X=\|a(t^{\pm})+re_1\|$ を微分すると

\begin{align}
1=\dfrac{\langle a(t^{\pm})+re_1,\partial a(t^{\pm})\rangle}{X}\partial t^{\pm}
\end{align}

となるので

\begin{align}
\int_0^{2\pi}\partial_pg^{-1}\mathscr{P}f(1)\,d\theta=\int_m^M\{\langle p,\partial a(t^+)\rangle\partial t^{+}-\langle p,\partial a(t^-)\rangle\partial t^-\}\psi(X)\,dX
\end{align}

$a^{\pm}(X)=a(t^{\pm}(X))$ とおくともう少し簡単な式になります。

\begin{align}
\int_0^{2\pi}\partial_pg^{-1}\mathscr{P}f(1)\,d\theta=\int_m^M\{\langle p,\partial a^+\rangle-\langle p,\partial a^-\rangle\}\psi(X)\,dX
\end{align}

前者の式の変数変換ができました。後者の式も同様に考えると

\begin{align}
r\int_0^{2\pi}\partial_{e_2}g^{-1}\mathscr{P}f(1)\,d\theta-\int_0^{2\pi}\partial_{pq}g^{-1}\mathscr{P}f(1)\,d\theta=\int_m^M\{\langle a^+,\partial a^+\rangle-\langle a^-,\partial a^-\rangle\}\psi(X)\,dX
\end{align}

が得られます。今回はここまで。(written by J.Nishigata)


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研究135- ポンペイユ変換と環状項