MathJax = {
  chtml: {
    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






前回計算したポンペイユ変換の導関数を円周に沿って積分してみましょう。$e_1$ 方向へ $r$ だけ並進運動させ原点を中心に $\theta$ だけ回転運動させる運動群の元を $g$ とします。

\begin{align}
\partial_pg^{-1}\mathscr{P}f(1)=\int_0^Lf(R_{\theta}a+re(\theta))\langle p,\nu\rangle\,dt
\end{align}

$\theta$ に関して一周積分すると

\begin{align}
\int_0^{2\pi}\partial_pg^{-1}\mathscr{P}f(1)\,d\theta=\int_0^L\psi(\|a+re_1\|)\langle p,\nu\rangle\,dt
\end{align}

回転方向への導関数に関しても同様に

\begin{align}
\int_0^{2\pi}\partial_{pq}g^{-1}\mathscr{P}f(1)\,d\theta&=-\int_0^L\psi(\|a+re_1\|)\langle a+re_1,\partial a\rangle\,dt\\
&=-\int_0^L\psi(\|a+re_1\|)\langle a,\partial a\rangle\,dt-r\int_0^L\psi(\|a+re_1\|)\langle e_1,\partial a\rangle\,dt\\
&=-\int_0^L\psi(\|a+re_1\|)\langle a,\partial a\rangle\,dt+r\int_0^{2\pi}\partial_{e_2}g^{-1}\mathscr{P}f(1)\,d\theta
\end{align}

今回はここまで。(written by J.Nishigata)


Copy Right 2020-現在 ALXIS DATA, Inc. All Right Reserved.

研究135- ポンペイユ変換と環状項

MathJax = {
  chtml: {
    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






前回求めた式は見方を変えると、$\psi$ の積分変換と考えることができます。このときの積分核は

\begin{align}
&k_1(X,r)=\langle p,\partial a^+\rangle-\langle p,\partial a^-\rangle\ \text{for }m < X < M,\\
&k_2(X,r)=\langle a^+,\partial a^+\rangle-\langle a^-,\partial a^-\rangle\ \text{for }m < X < M
\end{align}

です。端点 $X=m,M$ の近傍で $k_1,k_2$ がどのようなオーダーで振舞うか調べてみましょう。$t_0=\lim_{X\to m}t^+$ 近傍で $a$ を級数展開すると

\begin{align}
a=a(t_0)+\partial a(t_0)(t-t_0)+\dfrac{\partial^2a(t_0)}{2}(t-t_0)^2+\dfrac{\partial^3a(t_0)}{6}(t-t_0)^3+o((t-t_0)^3)
\end{align}

これを $\partial a(t_0),\nu(t_0)$ が張る直交系に分解してみます。まず $a(t_0)$ から分解しましょう。$a(t_0)+re_1$ で半径 $m$ の円と $\Omega$ は接するので

\begin{align}
a(t_0)+re_1=-m\nu(t_0)
\end{align}

が成立します。続いて $\partial^2 a(t_0)$ を分解します。$\|\partial a\|=1$ を微分すると $\langle \partial a,\partial^2a\rangle=0$ が得られます。したがって $\partial^2a$ は $\nu$ 成分のみをもちますが $-\langle\nu,\partial^2a\rangle$ は曲率なので

\begin{align}
\partial^2a=-\chi\nu
\end{align}

が得られます。最後に $\partial^3 a$ ですね。上の式を微分してみましょう。

\begin{align}
\partial^3a=-\partial\chi\nu-\chi\partial\nu
\end{align}

$\partial\nu$ を分解すれば良いですね。$\|\nu\|=1$ を微分して $\langle \nu,\partial\nu\rangle=0$。$\langle\partial a,\nu\rangle=0$ を微分すると $-\chi+\langle\partial a,\partial\nu\rangle=0$。以上より $\partial\nu=\chi\partial a$ が得られます。したがって

\begin{align}
\partial^3a=-\partial\chi\nu-\chi^2\partial a
\end{align}

以上で $a$ の直交分解ができます。

\begin{align}
a+re_1=\bigg\{(t-t_0)-\dfrac{\chi(t_0)^2}{6}(t-t_0)^3\bigg\}\partial a(t_0)-\bigg\{m+\dfrac{\chi(t_0)}{2}(t-t_0)^2+\dfrac{\partial\chi(t_0)}{6}(t-t_0)^3\bigg\}\nu(t_0)+o((t-t_0)^3)
\end{align}

今回はここまで。(written by J.Nishigata)


Copy Right 2020-現在 ALXIS DATA, Inc. All Right Reserved.

研究136- 環状項の積分を原点中心の動径表示へ変換する