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  },
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    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ のポンペイユ像の自由度は並進運動の自由度と回転運動の自由度です。まず、並進運動に関しての導関数を計算しましょう。$p\in S^1$ 方向への導関数は

\begin{align}
\partial_pg^{-1}\mathscr{P}f(1)&=\int_{\Omega}\partial_pg^{-1}f\,dx^1\wedge dx^2\\
&=\int_{\partial\Omega}g^{-1}f(-p^2\,dx^1+p^1\,dx^2)
\end{align}

もう一回微分してみましょう。

\begin{align}
\partial_p^2g^{-1}\mathscr{P}f(1)&=\int_{\partial\Omega}\partial_pg^{-1}f(-p^2\,dx^1+p^1\,dx^2)\\
&=\int_{\partial\Omega}(p^1\partial_1g^{-1}f+p^2\partial_2g^{-1}f)(-p^2\,dx^1+p^1\,dx^2)
\end{align}

同様にして $q=R_{\pi/2}p$ 方向へ $2$ 回微分すると

\begin{align}
\partial_q^2g^{-1}\mathscr{P}f(1)=\int_{\partial\Omega}(-p^2\partial_1g^{-1}f+p^1\partial_2g^{-1}f)(-p^1\,dx^1-p^2\,dx^2)
\end{align}

これでラプラシアン像を計算することができますね。

\begin{align}
\Delta g^{-1}\mathscr{P}f(1)=\int_{\partial\Omega}\partial_1g^{-1}f\,dx^2-\partial_2g^{-1}f\,dx^1
\end{align}

最後に回転運動に関しての導関数を計算します。

\begin{align}
\partial_{pq}g^{-1}\mathscr{P}f(1)&=\int_{\Omega}(-\langle q,x\rangle\partial_pg^{-1}f+\langle p,x\rangle\partial_qg^{-1}f)\,dx^1\wedge dx^2\\
&=\int_{\partial\Omega}-\langle q,x\rangle g^{-1}f(-p^2\,dx^1+p^1\,dx^2)+\langle p,x\rangle g^{-1}f(-q^2\,dx^1+q^1\,dx^2)\\
&=(p^2q^1-p^1q^2)\int_{\partial\Omega}g^{-1}f(x^1\,dx^1+x^2\,dx^2)\\
&=-\int_{\partial\Omega}g^{-1}f(x^1\,dx^1+x^2\,dx^2)
\end{align}

今回はここまで。(written by J.Nishigata)


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研究133- ポンペイユ変換の導関数

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    inlineMath: [['$', '$']]
  }
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前回計算したポンペイユ変換の導関数を円周に沿って積分してみましょう。$e_1$ 方向へ $r$ だけ並進運動させ原点を中心に $\theta$ だけ回転運動させる運動群の元を $g$ とします。

\begin{align}
\partial_pg^{-1}\mathscr{P}f(1)=\int_0^Lf(R_{\theta}a+re(\theta))\langle p,\nu\rangle\,dt
\end{align}

$\theta$ に関して一周積分すると

\begin{align}
\int_0^{2\pi}\partial_pg^{-1}\mathscr{P}f(1)\,d\theta=\int_0^L\psi(\|a+re_1\|)\langle p,\nu\rangle\,dt
\end{align}

回転方向への導関数に関しても同様に

\begin{align}
\int_0^{2\pi}\partial_{pq}g^{-1}\mathscr{P}f(1)\,d\theta&=-\int_0^L\psi(\|a+re_1\|)\langle a+re_1,\partial a\rangle\,dt\\
&=-\int_0^L\psi(\|a+re_1\|)\langle a,\partial a\rangle\,dt-r\int_0^L\psi(\|a+re_1\|)\langle e_1,\partial a\rangle\,dt\\
&=-\int_0^L\psi(\|a+re_1\|)\langle a,\partial a\rangle\,dt+r\int_0^{2\pi}\partial_{e_2}g^{-1}\mathscr{P}f(1)\,d\theta
\end{align}

今回はここまで。(written by J.Nishigata)


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研究134- ポンペイユ変換の導関数を弧長表示で書き換える