前回 $\partial\chi=0$ の場合をやり残していますが、一旦 $\partial\chi\neq 0$ として話を進めましょう。現時点で分かっていることは

\begin{align} t-t_0=\pm\sqrt{\dfrac{2m}{1+m\chi}}(X-m)^{1/2}-\dfrac{\partial\chi}{3}\bigg(\dfrac{m}{1+m\chi}\bigg)^2(X-m)+o(X-m) \end{align}

という展開式です。これを $a$ の展開式に代入すれば、$a^{\pm}$ の展開式を得ることができます。

\begin{align} a=a(t_0)+\bigg\{\pm\sqrt{\dfrac{2m}{1+m\chi}}(X-m)^{1/2}-\dfrac{\partial\chi}{3}\bigg(\dfrac{m}{1+m\chi}\bigg)^2(X-m)\bigg\}\partial a-\dfrac{m\chi}{1+m\chi}(X-m)\nu+o(X-m) \end{align}

さらに導関数を計算すると

\begin{align} \partial a=\bigg\{\pm\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2m}{1+m\chi}}(X-m)^{-1/2}-\dfrac{\partial\chi}{3}\bigg(\dfrac{m}{1+m\chi}\bigg)^2\bigg\}\partial a-\dfrac{m\chi}{1+m\chi}\nu+o(1) \end{align}

これで積分核の $X=m$ 近傍での振る舞いが分かりますね。$\partial a(t_0)$ に直交しないような $p$ に対して

\begin{align} &k_1= \sqrt{\dfrac{2m}{1+m\chi(t_0)}}\langle p,\partial a(t_0)\rangle(X-m)^{-1/2}+o(1),\\ &k_2= \sqrt{\dfrac{2m}{1+m\chi(t_0)}}\langle a(t_0),\partial a(t_0)\rangle(X-m)^{-1/2}+c_2(X-m)^{1/2}+o((X-m)^{1/2}) \end{align}

$k_1$ の無限小の項が $o(1)$ となっていますが、少し考えれば $c_1(X-m)^{1/2}+o((X-m)^{1/2})$ と書き換えられることが分かりますね。$X=M$ の近傍でも同様に近似計算をすると

\begin{align} &k_1= \sqrt{\dfrac{2M}{-1+M\chi(t_1)}}\langle p,\partial a(t_1)\rangle(M-X)^{-1/2}+c_3(M-X)^{1/2}+o((M-X)^{1/2}),\\ &k_2= \sqrt{\dfrac{2M}{-1+M\chi(t_1)}}\langle a(t_1),\partial a(t_1)\rangle(M-X)^{-1/2}+c_4(M-X)^{1/2}+o((M-X)^{1/2}) \end{align}

が得られます。今回はここまで。(written by J.Nishigata)

研究139- 積分核の端点近傍の様子その３