前回求めた式は見方を変えると、$\psi$ の積分変換と考えることができます。このときの積分核は

\begin{align} &k_1(X,r)=\langle p,\partial a^+\rangle-\langle p,\partial a^-\rangle\ \text{for }m < X < M,\\ &k_2(X,r)=\langle a^+,\partial a^+\rangle-\langle a^-,\partial a^-\rangle\ \text{for }m < X < M \end{align}

です。端点 $X=m,M$ の近傍で $k_1,k_2$ がどのようなオーダーで振舞うか調べてみましょう。$t_0=\lim_{X\to m}t^+$ 近傍で $a$ を級数展開すると

\begin{align} a=a(t_0)+\partial a(t_0)(t-t_0)+\dfrac{\partial^2a(t_0)}{2}(t-t_0)^2+\dfrac{\partial^3a(t_0)}{6}(t-t_0)^3+o((t-t_0)^3) \end{align}

これを $\partial a(t_0),\nu(t_0)$ が張る直交系に分解してみます。まず $a(t_0)$ から分解しましょう。$a(t_0)+re_1$ で半径 $m$ の円と $\Omega$ は接するので

\begin{align} a(t_0)+re_1=-m\nu(t_0) \end{align}

が成立します。続いて $\partial^2 a(t_0)$ を分解します。$\|\partial a\|=1$ を微分すると $\langle \partial a,\partial^2a\rangle=0$ が得られます。したがって $\partial^2a$ は $\nu$ 成分のみをもちますが $-\langle\nu,\partial^2a\rangle$ は曲率なので

\begin{align} \partial^2a=-\chi\nu \end{align}

が得られます。最後に $\partial^3 a$ ですね。上の式を微分してみましょう。

\begin{align} \partial^3a=-\partial\chi\nu-\chi\partial\nu \end{align}

$\partial\nu$ を分解すれば良いですね。$\|\nu\|=1$ を微分して $\langle \nu,\partial\nu\rangle=0$。$\langle\partial a,\nu\rangle=0$ を微分すると $-\chi+\langle\partial a,\partial\nu\rangle=0$。以上より $\partial\nu=\chi\partial a$ が得られます。したがって

\begin{align} \partial^3a=-\partial\chi\nu-\chi^2\partial a \end{align}

以上で $a$ の直交分解ができます。

\begin{align} a+re_1=\bigg\{(t-t_0)-\dfrac{\chi(t_0)^2}{6}(t-t_0)^3\bigg\}\partial a(t_0)-\bigg\{m+\dfrac{\chi(t_0)}{2}(t-t_0)^2+\dfrac{\partial\chi(t_0)}{6}(t-t_0)^3\bigg\}\nu(t_0)+o((t-t_0)^3) \end{align}

今回はここまで。(written by J.Nishigata)

研究137- 積分核の端点近傍の様子その１