規格化された関数 $a,b$ に対して $c=a\ast b$ とおきます。

\begin{align} \int c(y)\,dy&=\iint a(x)b(y-x)\,dxdy\\ &=\int a(x)\,dx=1 \end{align}

より、関数 $c$ も規格化されていることがわかりますね。続いて位置の平均値に関して

\begin{align} \int yc(y)\,dy&=\iint (y+x)a(x)b(y)\,dxdy\\ &=\iint ya(x)b(y)\,dxdy+\iint xa(x)b(y)\,dxdy=\int yb(y)\,dy+\int xa(x)\,dx \end{align}

加法性 $x_c=x_a+x_b$ の成立が確認できます。では、分散に関してはどうなるでしょうか。

\begin{align} \sigma_c^2&=\iint \|y+x-x_c\|^2a(x)b(y)\,dxdy\\ &=\iint (\|x\|^2+\|y\|^2+\|x_c\|^2+2\langle x,y\rangle-2\langle x+y,x_c\rangle)a(x)b(y)\,dxdy\\ &=\sigma_a^2+\|x_a\|^2+\sigma_b^2+\|x_b\|^2+\|x_c\|^2+2\langle x_a,x_b\rangle-2\langle x_a+x_b,x_c\rangle\\ &=\sigma_a^2+\sigma_b^2 \end{align}

分散に関しても加法性が成立します。この関係式を用いればデコンボリューション画像の分解能がわかりますね。実際に計算してみると7.4pxという結果になります。

さて、入力画像の分解能2.9pxは、画サイズを換算して23.2pxです。これがデコンボリューションによって7.4pxになったということは、3倍強改善していることになりますね。

ちなみに入力画像の遮断周波数から算出される分解能の画サイズ換算値19.2pxと比較しても、約2.6倍改善しています。今回はここまで。次回は分解能改善の必要条件であるスペクトルを見てみましょう。(written by J.Nishigata)

研究116- NASAのオープンデータで、遮断周波数を超える分解能の改善に成功!～その４