以前定義したコスト関数を思い出しましょう。

\begin{align} E=\dfrac{1}{|\Omega|}\int_{\Omega}\bigg\{\int_0^{2\pi}(\partial_r-\cos\theta\partial_{y^1}-\sin\theta\partial_{y^2})\psi(r,z+re(\theta))\,d\theta\bigg\}^2\,dz \end{align}

領域 $\Omega$ の $r$-近傍の画素値をサンプリングしていますね。STFT 不確定性を反映させるためには、この領域 $\Omega$ の部分を変更します。

\begin{align} E=\int_{\mathbb{R}^2}w(z-x)\bigg\{\int_0^{2\pi}(\partial_r-\cos\theta\partial_{y^1}-\sin\theta\partial_{y^2})\psi(r,x+re(\theta))\,d\theta\bigg\}^2\,dx \end{align}

修正されたコスト関数の極値問題から算出されるラプラシアンの冪級数の係数は空間依存性をもちます。したがって、デコンボリューションフィルタの形は

\begin{align} \sum \{\alpha^i(x)A_i+\beta^i(x)B_i\} \end{align}

となります。これを光学像に掛けてみましょう。

\begin{align} \sum \{\alpha^i(x)(A_i\ast g)(x)+\beta^i(x)(B_i\ast g)(x)\} \end{align}

このようなデコンボリューション像のスペクトルは、遮断周波数を超える領域でも消えることはありません。このデコンボリューション法を、Weak Value Restoration法(WVR法)と名付けておきます。さて、ここまでの話は物理学的な意味を完全に無視した、一見すると意味のなさそうなアルゴリズムですね。現在の光学の解釈では遮断周波数の問題は解決不可能ですので、このようなデコンボリューションに物理学的な意味を要求することはナンセンスなのかもしれません。

理論的に意味の解らない不可解なアルゴリズムであっても実験結果には意味があります。真に意味のないアルゴリズムであれば実験結果はデタラメなものになるでしょう。しかし見方を変えると、実験結果に物理学的な意味があるのであれば、そのアルゴリズムにも何かしら物理学的な意味があると推測できます。

ということで、次回は簡単な実験結果を紹介します。(written by J.Nishigata)

研究106- STFT 不確定性を反映したコスト関数