MathJax = {
  chtml: {
    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






前回は、良く知られた方法であるファンク-ヘッケの定理を用いてファンク変換の反転公式を考えました。この方法にどのような感想をもったでしょうか。恐らく、すべての $m_k$ を計算することが面倒、$m_k$ が消えるか否かの判定が面倒というようなイメージだと思います。ファンク-ヘッケの定理を用いた方法は係数のデータセットさえ作ってしまえば、フーリエ級数に関する掛け算を実行するだけで簡単に逆変換できるのですが、準備は厄介に感じます。


ヒルベルト変換を応用した別の方法は、このような準備が不要です。これを説明する前に、幾つかの微分形式の話をしておきます。

\begin{align}
\omega=\sum_{j=1}^n (-1)^{j+1}x^j\,dx^1\wedge\cdots\hat{j}\cdots\wedge dx^n
\end{align}

これは今まで何回も登場してきた球面上の体積形式ですね。記号 $\hat{j}$ は、インデックス $j$ を除くという意味です。この微分形式に $x^i$ を掛けてみましょう。

\begin{align}
x^i\omega=\sum_{j=1}^n (-1)^{j+1}x^ix^j\,dx^1\wedge\cdots\hat{j}\cdots\wedge dx^n
\end{align}

球面上では $\|x\|^2=1$ が成立しているのでこれを微分した

\begin{align}
x^i\,dx^i=-(x^1\,dx^1+\cdots\hat{i}\cdots+x^n\,dx^n)
\end{align}

という関係があります。これをどのように使うのかというと、$x^i\omega$ の項の順序を入れ替えた

\begin{align}
x^i\omega=\sum_{j\neq i} (-1)^{i-1}(-1)^{j+1}\mathrm{sgn}(j-i)x^ix^j\,dx^i\wedge dx^1\wedge\cdots\hat{i}\hat{j}\cdots\wedge dx^n+(-1)^{i+1}(x^i)^2\,dx^1\wedge\cdots\hat{i}\cdots\wedge dx^n
\end{align}

に使います。

\begin{align}
x^i\omega&=\sum_{j\neq i} (-1)(-1)^{i-1}(-1)^{j+1}\mathrm{sgn}(j-i)(x^j)^2\,dx^j\wedge dx^1\wedge\cdots\hat{i}\hat{j}\cdots\wedge dx^n+(-1)^{i+1}(x^i)^2\,dx^1\wedge\cdots\hat{i}\cdots\wedge dx^n\\
&=\sum_{j=1}^n(-1)^{i+1}(x^j)^2\,dx^1\wedge\cdots\hat{i}\cdots\wedge dx^n\\
&=(-1)^{i+1}\,dx^1\wedge\cdots\hat{i}\cdots\wedge dx^n
\end{align}

続いて $\partial S_y$ の体積形式を定義します。

\begin{align}
\omega^y=\sum_{i,j=1}^n (-1)^{i+j}\mathrm{sgn}(i-j)y^ix^j\,dx^1\wedge\cdots\hat{i}\hat{j}\cdots\wedge dx^n
\end{align}

この微分形式の外微分を計算してみましょう。

\begin{align}
d\omega^y&=\sum_{i,j=1}^n (-1)^{i+j}\mathrm{sgn}(i-j)y^i\,dx^j\wedge dx^1\wedge\cdots\hat{i}\hat{j}\cdots\wedge dx^n\\
&=(n-1)\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1}y^i\, dx^1\wedge\cdots\hat{i}\cdots\wedge dx^n
\end{align}

ここで先程求めた $x^i\omega=(-1)^{i+1}\, dx^1\wedge\cdots\hat{i}\cdots\wedge dx^n$ を使い

\begin{align}
d\omega^y&=(n-1)\sum_{i=1}^nx^iy^i\omega=(n-1)\langle x,y\rangle\omega
\end{align}

$\omega^y$ と $1$-形式の外積も計算しておくと

\begin{align}
\langle z,dx\rangle\wedge\omega^y&=\sum_{i,j=1}^n (-1)^{i+j}\mathrm{sgn}(i-j)y^ix^j(z^i\,dx^i+z^j\,dx^j)\wedge dx^1\wedge\cdots\hat{i}\hat{j}\cdots\wedge dx^n\\
&=-\sum_{i,j=1}^n (-1)^{j+1}y^ix^jz^i\, dx^1\wedge\cdots\hat{j}\cdots\wedge dx^n\\
&\quad +\sum_{i,j=1}^n (-1)^{i+1}y^ix^jz^j\, dx^1\wedge\cdots\hat{i}\cdots\wedge dx^n\\
&=-\sum_{i=1}^ny^iz^i\sum_{j=1}^n (-1)^{j+1}x^j\, dx^1\wedge\cdots\hat{j}\cdots\wedge dx^n\\
&\quad +\sum_{j=1}^nx^jz^j\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1}y^i\, dx^1\wedge\cdots\hat{i}\cdots\wedge dx^n\\
&=-\langle y,z\rangle\omega+\langle x,y\rangle\langle x,z\rangle\omega
\end{align}

得られた結果をまとめておくと

\begin{align}
&x^i\omega=(-1)^{i+1}\,dx^1\wedge\cdots\hat{i}\cdots\wedge dx^n\\
&d\omega^y=(n-1)\langle x,y\rangle\omega\\
&\langle z,dx\rangle\wedge\omega^y=-\langle y,z\rangle\omega+\langle x,y\rangle\langle x,z\rangle\omega
\end{align}

この $3$ つの式は度々球面上の積分に登場するので覚えておくと便利です。今回はここまで。次回はヒルベルト変換を使ってファンク変換に挑戦します。(written by J.Nishigata)


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研究59- 微分形式の準備

MathJax = {
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    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






前回のファンク変換の次いで簡単な積分変換を扱います。

\begin{align}
\mathscr{K}f(y)=\int_{S_y}\langle x,y\rangle f\omega
\end{align}

半球面コサイン変換と呼ばれているものです。まずは良く知られた方法であるファンク-ヘッケの定理で考えてみましょう。以前と同じようにロドリゲスの公式を使い

\begin{align}
m_k=\sigma_{n-2}A_{k,n}\int_0^1t\partial^k(1-t^2)^{k+(n-3)/2}\,dt
\end{align}

ここから場合分けをして計算していきます。まずは $k=0$ のとき

\begin{align}
m_0=\sigma_{n-2}A_{0,n}\int_0^1t(1-t^2)^{(n-3)/2}\,dt=\dfrac{\sigma_{n-2}A_{0,n}}{n-1}
\end{align}

これは簡単でしたね。$k=1$ のときも簡単に

\begin{align}
m_1&=\sigma_{n-2}A_{1,n}\int_0^1t\partial (1-t^2)^{1+(n-3)/2}\,dt\\
&=\sigma_{n-2}A_{1,n}[t(1-t^2)^{1+(n-3)/2}]_0^1-\sigma_{n-2}A_{1,n}\int_0^1(1-t^2)^{1+(n-3)/2}\,dt\\
&=-\sigma_{n-2}A_{1,n}\int_0^1(1-t^2)^{1+(n-3)/2}\,dt\\
&=-\sigma_{n-2}A_{1,n}\int_0^{\pi/2}\cos^{n-1}\theta\,d\theta\\
&=-\sigma_{n-2}A_{1,n}\dfrac{\Gamma(1/2)\Gamma(n/2)}{2\Gamma((n+1)/2)}
\end{align}

と計算できます。$k\ge 2$ のときは

\begin{align}
m_k&=-\sigma_{n-2}A_{k,n}\int_0^1\partial^{k-1}(1-t^2)^{k+(n-3)/2}\,dt\\
&=-\sigma_{n-2}A_{k,n}[\partial^{k-2}(1-t^2)^{k+(n-3)/2}]_0^1\\
&=-\dfrac{\sigma_{n-2}A_{k,n}}{A_{k-2,n+4}}[(1-t^2)^{(n+1)/2}P_{k-2,n+4}]_0^1\\
&=\dfrac{\sigma_{n-2}A_{k,n}}{A_{k-2,n+4}}P_{k-2,n+4}(0)
\end{align}

以上ですべての係数が計算できました。最後に係数が消えるか否かを調べておきましょう。$m_0\neq 0,m_1\neq 0$ は明らかです。$k\ge 2$ に関してはルジャンドル多項式の原点での値を確認すればよいので、$k$ が偶数の場合は $m_k\neq 0$、奇数の場合は $m_k=0$ であることが分かります。


今回はここまで。次回はヒルベルト変換を使って半球面コサイン変換を調べていきます。(written by J.Nishigata)


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研究60- ヒルベルト変換を用いたファンク変換の解析