まず、ファンク変換を $p\in\partial S_y$ 方向に微分します。

\begin{align} \partial_{yp}\mathscr{K}f=\int_{S_y}\partial_{yp}f\omega \end{align}

$\partial_{yp}$ を $y$ 方向と $p$ 方向へ分解すると $-\langle p,x\rangle \partial_y+\langle y,x\rangle \partial_p$ ですので

\begin{align} \partial_{yp}\mathscr{K}f=\int_{S_y}(-\langle p,x\rangle \partial_yf+\langle y,x\rangle \partial_pf)\omega \end{align}

ここで $d(\langle p,x\rangle f\omega^y-\langle y,x\rangle f\omega^p)=-\langle p,x\rangle\partial_yf\omega+\langle y,x\rangle\partial_pf\omega$ であることに注意しましょう。

\begin{align} \partial_{yp}\mathscr{K}f&=\int_{S_y}d(\langle p,x\rangle f\omega^y-\langle y,x\rangle f\omega^p)\\ &=\int_{\partial S_y}\langle p,x\rangle f\omega^y-\langle y,x\rangle f\omega^p\\ &=\int_{\partial S_y}\langle p,x\rangle f\omega^y \end{align}

この式をもう一度微分してみましょう。

\begin{align} \partial^2_{yp}\mathscr{K}f&=\int_{\partial S_y}\langle p,x\rangle (-\langle p,x\rangle \partial_y+\langle y,x\rangle \partial_p)f\omega^y\\ &=-\int_{\partial S_y}\langle p,x\rangle^2 \partial_yf\omega^y \end{align}

これを $y$ に垂直な正規直交な $p$ に渡り和をとると、左辺は球面ラプラシアンになり

\begin{align} \Delta^S\mathscr{K}f=-\int_{\partial S_y}\partial_yf\omega^y \end{align}

が得られます。次は積分領域を分解していきます。$\partial S_y$ 上の互いに直交する $2$ 点 $p_1,p_2$ に対して $p_1$ から $p_2$ へ $s$ だけ回転させる行列を $R_s$ とおきます。$p(s)=R_sp_1,q(s)=R_sp_2$ とおきましょう。

$p(s)$ を頂点とする $\partial S_y$ 上の $n-2$ 次元半球面を $(\partial S_y)_{p(s)}$ 、その上の体積形式を $\tilde{\omega}$ とおきます。$q(s)$ を頂点とする $\partial(\partial S_y)_{p(s)}$ 上の $n-3$ 次半球面を $\tilde{S}$ とおきます。

以上で分解する準備が整いました。$\partial S_y$ を $\partial(\partial S_y)_{p(s)}$ 方向と $s$ 方向に分解します。

\begin{align} \Delta^S\mathscr{K}f&=-\int_0^{2\pi}\bigg\{\int_{\tilde{S}}\langle q(s),x\rangle\partial_y f\tilde{\omega}\bigg\}\,ds\\ &=\int_0^{2\pi}\bigg\{\int_{\tilde{S}}\dfrac{\langle q(s),x\rangle}{\langle p(t),x\rangle}\partial_{yp(t)} f\tilde{\omega}\bigg\}\,ds\\ &=\int_0^{2\pi}\bigg\{\int_{\tilde{S}}\dfrac{\langle q(s),x\rangle}{\langle p(t),\langle q(s),x\rangle q(s)\rangle}\partial_{yp(t)} f\tilde{\omega}\bigg\}\,ds\\ &=\int_0^{2\pi}\bigg\{\int_{\tilde{S}}\dfrac{\langle q(s),x\rangle}{\langle p(t),q(s)\rangle}\partial_{yp(t)} f\tilde{\omega}\bigg\}\,ds\\ &=-\int_0^{2\pi}\dfrac{1}{\sin(s-t)}\bigg\{\int_{\tilde{S}}\partial_{yp(t)} f\tilde{\omega}\bigg\}\,ds \end{align}

円周上のヒルベルト変換が登場しましたね。ヒルベルト像に関して解いて逆ヒルベルト変換を掛ければ

\begin{align} \int_{\tilde{S}}\{f(x)-f(-x)\}\tilde{\omega} \end{align}

が求まります。これは $n-3$ 次元球面に対するファンク変換になっていることに注意しましょう。以上の操作を実行すると次元は $-2$ 変化していき帰納的に零次元若しくは $1$ 次元のファンク変換の値が求まります。$1$ 次元のファンク変換は微分すれば簡単に解けるので省略しましょう。

以上がヒルベルト変換を使ったファンク変換の反転公式です。今回はここまで。次回も球面上の話です。(written by J.Nishigata)

研究60- ヒルベルト変換を用いたファンク変換の解析