まず、前回の式を復習しましょう。

\begin{align} 4\pi^2f(re(\tau)+z)=\mathrm{pv.}\int_0^{2\pi}\dfrac{1+\cos(\theta-\tau)}{\sin(\theta-\tau)}\mathscr{H}f(\theta+\pi,z+re(\theta))\,d\theta+2\pi\psi(r,z) \end{align}

この式で $z=z-re(\tau)$ を代入すると

\begin{align} 4\pi^2f(z)=\mathrm{pv.}\int_0^{2\pi}\dfrac{1+\cos(\theta-\tau)}{\sin(\theta-\tau)}\mathscr{H}f(\theta+\pi,z-re(\tau)+re(\theta))\,d\theta+2\pi\psi(r,z-re(\tau)) \end{align}

という式になります。この式で何を言いたいのかというと、左辺には $\tau$ が含まれない一方、右辺には含まれるということです。すなわち、右辺は $\tau$ に依存せず $4\pi^2f(z)$ に等しくなります。

以前、充分遠くで消える関数の超解像でもやりましたが、その他ラプラシアンを考えるとき等でも、回転に依存しないという式は度々現れます。

回転に依存しないという性質は、理論に限定した話ですので、実験値で利用する場合には特定の角度を選択するのではなく角度に関する積分平均をとる方がノイズ面で高性能です。今の場合は

\begin{align} 8\pi^3f(z)=\int_0^{2\pi}\bigg\{\mathrm{pv.}\int_0^{2\pi}\dfrac{1+\cos(\theta-\tau)}{\sin(\theta-\tau)}\mathscr{H}f(\theta+\pi,z-re(\tau)+re(\theta))\,d\theta\bigg\}\,d\tau+2\pi\int_0^{2\pi}\psi(r,z-re(\tau))\,d\tau \end{align}

とするとノイズに強くなります。今回はここまで。次回はフィルタサイズの話をします。(written by J.Nishigata)

研究50- 反転公式の安定化