前回と方針は同じです。今回は積分核が $1/\sin x$ のヒルベルト変換をやります。

\begin{align} \mathscr{H}f(y)=\mathrm{pv.}\int_0^{2\pi}\dfrac{f(x)}{\sin(x-y)}\,dx \end{align}

前回と同じく $f$ の周期は $2\pi$ です。

\begin{align} \mathscr{H}f(y)=\mathrm{pv.}\int_{y-\pi/2}^{y+\pi/2}\dfrac{f(x)-f(x+\pi)}{\sin(x-y)}\,dx \end{align}

より、周期 $\pi$ の関数は消えます。

\begin{align} \mathscr{H}\Big[\sum c_ne^{inx}\Big]=\mathscr{H}\Big[\sum c_{2n+1}e^{i(2n+1)x}\Big] \end{align}

したがって残りの半周期 $\pi$ の関数の像だけ計算すれば良いですね。

\begin{align} \mathscr{H}[e^{i(2n+1)x}](y)&=2\mathrm{pv.}\int_{y-\pi/2}^{y+\pi/2}\dfrac{e^{i(2n+1)x}}{\sin(x-y)}\,dx\\ &=2e^{i(2n+1)y}\mathrm{pv.}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\dfrac{e^{i(2n-1)x}+2ie^{2inx}\sin x}{\sin x}\,dx \end{align}

ここで $e^{2inx}$ の積分は $n=0$ のとき

\begin{align} \int_{-\pi/2}^{\pi/2}dx=\pi \end{align}

$n\neq 0$ のとき

\begin{align} \int_{-\pi/2}^{\pi/2}e^{2inx}\,dx=\dfrac{1}{2in}[e^{2inx}]_{-\pi/2}^{\pi/2}=0 \end{align}

したがって得られる漸化式は $a_n=\mathscr{H}[e^{i(2n+1)x}](y)$ とおいて

\begin{align} &a_0=e^{2iy}a_{-1}+4\pi ie^{iy},\\ &a_n=e^{2iy}a_{n-1}\ \text{for }n\neq 0 \end{align}

です。まず、初項を計算すると

\begin{align} a_0=2e^{iy}\mathrm{pv.}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\dfrac{\cos x+i\sin x}{\sin x}\,dx=2\pi ie^{iy} \end{align}

これを用いて

\begin{align} 2\pi ie^{iy}=e^{2iy}a_{-1}+4\pi ie^{iy} \end{align}

整理すると

\begin{align} a_{-1}=-2\pi ie^{-iy} \end{align}

これら以外は等比数列の漸化式を解くだけですので、簡単に求まりますね。

\begin{align} \mathscr{H}[e^{i(2n+1)x}](y)=\mathrm{sgn}(2n+1)2\pi ie^{i(2n+1)y} \end{align}

今回はここまで。次回は円周上のヒルベルト変換で単射となる変換を作ります。(written by J.Nishigata)

研究41- 円周上のヒルベルト変換その２